九年级数学题：已知矩形ABCD中,E是BC的中点,DF⊥AE于点F.连接AC交DF于G,若AB:AD=2:3，求AG：CG的值

如图，已知?ABCD中，AE平分∠BAD交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且AD=DF．过点D作DC的垂线，分别交AE、AB~

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠BAE=∠DEA，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠DEA，∴DE=AD，∵∠DAE=∠DEA，∵DF⊥BC，∴DF⊥AD，∵M为AG中点，∴AG=2DM=4，∵DN⊥CD，∴∠ADM+∠MDG=∠MDG+∠EDG，∴∠ADM=∠EDG，∴∠DAE+∠ADM=∠DEA+∠EDG，即∠DMG=∠DGM，∴DG=DM=2，在Rt△ADG中，DE=AD=AG2?DG2=23；（2）证明：过点A作AD的垂线交DN的延长线于点H，在△ADH和△FDC中，∠ADH＝∠FDCAD＝FD∠DAH＝∠DFC＝90°，∴△DAH≌△DFC（ASA），∴AH=FC，DH=DC，∵DF⊥AD，∴AH∥DF，∴∠HAM=∠DGM，∵∠AMH=∠DMG，∠DMG=∠DGM，∴∠HAM=∠HMA，∴AH=MH，∴MH=CF，∴AB=CD=DH=MH+DM=CF+DM．

（1）解：
∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE中点，
∴DF⊥AE，DF=AF=EF，
又∵∠ABC=90°，
∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余，
∴∠DCF=∠AMF，
在△DFC和△AFM中，

∠DCF＝∠AMF∠MFA＝∠CFDDF＝AF
∴△DFC≌△AFM（AAS），
∴CF=MF，
∴∠FMC=∠FCM；

（2）AD与MC垂直。
解：
∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE中点，
∴DF⊥AE，DF=AF=EF，∠MFC=90°
∵FD=EF，FM=FC，
∴∠FDE=∠FMC=45°，
∴DE∥CM，
∴AD⊥MC．

设AB=2K(K>0)，则AD=BC=3K，BE=1.5K，
∵ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAF=∠AEB，
∵DF⊥AE，∴∠AFD=∠B=90°，
∴ΔADF∽ΔEAB，
∴AF/DF=BE/AB=1.5K/2K=3/4，
又AF^2+DF^2=AD^2，
∴AF^2+16/9AF^2=9K^2，
AF=1.8K，
∵AE=√(AB^2+BE^2)=2.5K，
∴EF=0.7K，
延长DF交CB于H，
∵AD∥BC，∴ΔADF∽ΔEHF，
∴EH/AD=EF/AF==0.7K/1.8K=7/18，
∴EH=7/6K，∴CH=7/6K+3/2K=8/3K，
∴AG：CG=AD：CH=3K：8/3K=9：8。

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