1．已知：如图，Rt△AOB中，∠O=90°，以OA为半径作⊙O，BC切⊙O于点C，连接AC交OB于点P．
解：（1）连接OC，根据BC与圆O相切可得：角BOC=90度，∴角BCP与角PCO互余，又∵角APO与角PAO互余，且角PAO=角PCO，∴角APO=角BPC=角BCP，即BP=BC （2）∵sin角PAO=1/3，作BE垂直CP，再利用三角形BEP相似于AOP，可求出BP，也就求出了BC，设OP=x，AP=3x，AO=CO=根号10(x),根据三角形BOC是RT三角形，就可以列方程求解了：（BP+OP）^2=BC^2+OC^2
①证明：
连接OC
∵BC是⊙O的切线
∴∠OCB=90°
∴∠OCA+∠BCP=90°
∵∠AOB=90°
∴∠OAC+∠APO=90°
∵OA=OC
∴∠OAP=∠OCA
∴∠BCP=∠APO=∠BPC
∴BP=BC
②解：
延长AO交⊙O于D，连接CD。
则AD为⊙O的直径
∴∠ACD=90°=∠AOP
又∵∠DAC=∠PAO
∴△DAC∽△PAO（AA）
∴AD/AP=AC/AO
∴AP×AC=AD×AO=2AO^2
∵sin∠PAO=OP/AP=1/3
设OP=x，则AP=3x，AO=2√2x
AC=2AO^2/AP=16/3x
PC=AC-AP=16/3x-3x=7/3x=7
x=3
⊙O的半径AO=2√2x=6√2
1、连接OC，可得OC=AO；则：∠2=∠3；∠1=∠5；∠1+∠2=90，则：∠5+∠2=90
由已知可得：∠3+∠4=90，所以：∠4=∠5；则：BP=BC
2、做BE垂直AC于E，由题1得BP=BC，则：∠6=2；EP=PC/2=7/2
由：sin∠PAO=1/3=sin∠6；可得：EP/BP=1/3；则：BP=21/2；则：BE=7√2
设：OP=a，则：AP=3a；OA= a√8
BC^2+OC^2=BO^2；则：(21/2)^2+(a√8)^2=(21/2+a)^2
(21/2)^2+8a^2=(21/2)^2+a^2+21
7a^2=21
解得：a=√3；所以，半径AO=√3*√8=2√6
连接OC，则∠OCB=90°，由OA=OC得∠1=∠2，
∴∠PCB=90°-∠1=90°-∠2=∠APO=∠CPB,∴BP=BC。
作直径AF,则∠ACF=90°,设AO=R,由AC=AP+PC得方程
2RcosPAO=R/cosPAO+7
∵sinPAO=1/3,∴cosPAO=2√2/3,代入方程得
2R*2√2/3=R/(2√2/3)+7，
化为R(4√2/3-3√2/4)=7，解得半径R=6√2.。
联结OC 则三角形OCB为直角三角形
因为OA=OC
所以角OCP=角OAP
角BCP=90度-角OCP
角BPC=角APO=90度-角OAP
所以角BCP=角BPC
所以BP=BC
1．已知：如图，Rt△AOB中，∠O=90°，以OA为半径作⊙O，BC切⊙O于点C，连接AC交OB于点P．视频
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