设f(x)可微 且|f'(x)|<mf(x)(0<m<1),任取实数a0定义an=lnf(a(n-1))证明∑(an-a(n-1))绝对收敛

设f(x)是(-∞,+)内的可微函数,且f'(x)的绝对值<mf(x),(0<m<1),任取实数An,定义An=mf（an-1），n=1,2.。。~

条件应该是|f'(x)|<=m，而不是|f'(x)|<mf(x)，否则结论不对。另外，an的定义是a(n)=f(a(n-1))。
按现在的条件，|a(n+1)-a(n)|=|f(a(n))-f(a(n-1))| 微分中值定理得

<=m|a(n)-a(n-1))| 继续递推下去
<=m^2|a(n-1)-a(n-2)|
=...<=m^n|a1-a0|。n=1,2，3...。
级数|a(n)-a(n-1)|的部分和<=(m+m^2+...+m^n)|a1-a0|
<=m/(1-m)*|a1-a0|有上界，n=1,2,3，....。
故级数绝对收敛。

令x1>x2
f(x1)-f(x2)=(x1^3-x2^3)+(x1-x2)
=(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2)+(x1-x2)
=(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2+1)
=(x1-x2)[(x1+x2/2)^2+3x^2/4+1]

x1>x2,所以x1-x2>0
(x1+x2/2)^2+3x^2/4+1,两个平方再加上1，所以大于0
所以f(x1)-f(x2)>0
即x1>x2时f(x1)>f(x2)
所以是增函数

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设f(x)可微 且|f'(x)|<mf(x)(0<m<1),任取实数a0定义an=lnf(a(n-1))证明∑(an-a(n-1))绝对收敛视频