历届高中数学竞赛试题及答案？
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『高中数学竞赛』2004年上海市高中数学竞赛(CASl0杯)
·2004年上海市高中数学竞赛(CASl0杯) 说明：解答本试题不得使用计算器. 一、填空题 1.若a、b、c∈Z+，且a=(b+ci)3-47i，则a的值......
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『高中数学竞赛』2003年安徽省高中数学竞赛（初赛）
·2003年安徽省高中数学竞赛（初赛）一、选择题（每小题6分,共36分） 1．定义 ．若 ， ，则P-M等于（ ） A．M B．P C． D． 2．函......
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『高中数学竞赛』2004年深圳市高中数学竞赛训练题
·2004年深圳市高中数学竞赛训练题 一、 选择题（仅有一个选择支正确） 1．已知全集 ，则（ ）（A） (B) (C) (D) ......
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『高中数学竞赛』二○○四年湖南省高中数学竞赛试题
·二○○四年湖南省高中数学竞赛试题一、选择题：(本大题共10个小题；每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中， 有且只有一项是符合题目要求的) 1.已知函数 是 上的奇函......
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『高中数学竞赛』2005年苍南县“姜立夫杯”高中数学竞赛高一试卷
·2005年苍南县“姜立夫杯”高中数学竞赛高 一 试 卷 2005年12月11日 命题人 沈世总 一、选择题（每题5分，共40分） ......
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『高中数学竞赛』高中数学竞赛校本教材[全套](共30讲，含详细答案)
·高中数学竞赛校本教材[全套](共30讲，含详细答案) 目录 §1数学方法选讲（1） ………………………………………………………………1 §2数学方法选讲（2） ......
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『高中数学竞赛』2007年浙江省高中数学竞赛 B卷
·2007年浙江省高中数学竞赛 B卷一、 选择题 1.已知集合 ， ，则 ＝（ ） A. B. C. D. 解： ......
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『高中数学竞赛』高中数学竞赛能力测验题
· 一、 选择题1、已知a－b=3,那么a3－b3－9ab的值是（ ） A 3 B 9 C 27 D 81 2、在一条直线上有五个不同的点，依次是A、B、......
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『高中数学竞赛』2007年浙江省高中数学竞赛 A卷
·2007年浙江省高中数学竞赛 A卷一、 选择题 1. 如果 ，则使 的 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 解：显然 ，且......
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『高中数学竞赛』2007年上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷
·2007年上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷（2007年3月25日 星期日 上午8：30—10：30）【说明】解答本试卷不得使用计算器一、 填空题（本题满分60分，前......
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试题名称试题大小更新时间人 气“希望杯”全国数学邀请赛模拟试题高二第1试未知2008-03-1514· 1．函数的图像绕原点逆时针旋转后得到新的图像是，则所表示的函数是（A）（B）（C）（D）2．设是三角形的一个内角，且，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）3．函数的最大值是（A）（B）（C）（D... 运行环境：Win9X/2000/XP/2003/授权方式：共享版推荐星级：全国数学奥林匹克决赛试题及答案 2005年未知2008-03-093· 2005年全国数学奥林匹克决赛试题附答案 运行环境：Win9X/2000/XP/2003/授权方式：免费版推荐星级：全国高中数学联赛试题及答案讲解 2001年未知2008-03-093· 2001年全国高中数学联赛试题讲解一、选择题（本题满分36分，每小题6分） �1.已知a为给定的实数，那么集合M＝｛x｜x2－3x－a2＋2＝0，x∈R｝的子集的个数为（ ）． �A．1 B．2 ... 运行环境：Win9X/2000/XP/2003/授权方式：免费版推荐星级：全国高中数学联赛试题及答案 2005年未知2008-03-090· 2005年全国高中数学联赛(第二试)试题及答案 运行环境：Win9X/2000/XP/2003/授权方式：免费版推荐星级：全国高中数学联赛试题附答案 2003年第一试未知2008-03-095· 2003年全国高中数学联赛试题(2003．10．12)第一试一、选择题（每小题6分,满分36分）1．删去正整数数列1,2,3,……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个新数列的第2003项是(A)2... 运行环境：Win9X/2000/XP/2003/授权方式：免费版推荐星级：全国高中数学联赛试题答案 2002年未知2008-03-095· 2002年全国高中数学联赛试题参考答案一、选择题 1、由x2-2x-3＞0有x＜-1或x＞3，故函数log1/2(x2-2x-3)的定义域为x＜-1或x＞3。二次函数u=x2-2x-3在（-∞，-1... 运行环境：Win9X/2000/XP/2003/授权方式：免费版推荐星级：全国高中数学联赛试题 2002年未知2008-03-093· 2002年全国高中数学联赛试题（第一试）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、函数f(x)=log1/2(x2-2x-3)的单调递增区间是（ ）。（A）（－∞,－1） （B）（－∞,1） ... 运行环境：Win9X/2000/XP/2003/授权方式：免费版推荐星级：全国高中数学联赛陕西赛区试题及答案 2006年未知2008-03-092· 2006年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题含答案第一试一、选择题（每小题5分，共50分）1、a,b为实数，集合表示把集合M中的元素x映射到集合P中仍为x，则a+b的值等于（）A.-1B.0C.1D.2... 运行环境：Win9X/2000/XP/2003/授权方式：免费版推荐星级：全国高中数学联赛山西预赛试题与答案 2006年未知2008-03-091· 2006年全国高中数学联赛山西预赛试题与答案（2006年9月2日上午8：30——11：30）一、选择题（每题7分共35分）1.由0,1,2,3,4,5六个数字能组成数字不重复且百位数字不是5的偶数有[... 运行环境：Win9X/2000/XP/2003/授权方式：免费版推荐星级：全国高中数学联赛模拟试题及答案8未知2008-03-091· 全国高中数学联赛模拟试题（八）（选题人：李潜）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、设logab是一个整数，且，给出下列四个结论①；②logab+logba=0；③0＜a＜b＜1；④ab-1=... 运行环境：Win9X/2000/XP/2003/授权方式：免费版推荐星级：全国高中数学联赛模拟试题及答案7未知2008-03-092· 全国高中数学联赛模拟试题（七）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、a、b是异面直线，直线c与a所成的角等於c与b所成的角，则这样的直线c有（A）1条（B）2条（C）3条（D）无数条2、已知f... 运行环境：Win9X/2000/XP/2003/授权方式：免费版推荐星级：全国高中数学联赛模拟试题及答案6未知2008-03-091· 全国高中数学联赛模拟试题（六）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、在复平面上，非零复数z1、z2在以i对应的点为圆心，1为半径的圆上，的实部为零，argz1=，则z2=（A）（B）（C）（D... 运行环境：Win9X/2000/XP/2003/授权方式：免费版推荐星级：全国高中数学联赛模拟试题及答案5未知2008-03-091· 全国高中数学联赛模拟试题（五）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、空间中n（n≥3）个平面，其中任意三个平面无公垂面．那么，下面四个结论（1）没有任何两个平面互相平行；（2）没有任何三个平面... 运行环境：Win9X/2000/XP/2003/授权方式：免费版推荐星级：全国高中数学联赛模拟试题及答案4未知2008-03-091· 全国高中数学联赛模拟试题（四）第一试一、选择题（每小题6分，共36分）：1、函数是奇函数的充要条件是（A）－1≤a＜0或0＜a≤1（B）a≤－1或a≥1（C）a＞0（D）a＜02、已知三点A(－2,1... 运行环境：Win9X/2000/XP/2003/授权方式：免费版推荐星级：全国高中数学联赛模拟试题及答案3未知2008-03-091· 全国高中数学联赛模拟试题（三）（命题人：吴伟朝）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、若集合S＝{n|n是整数，且22n＋2整除2003n＋2004}，则S为（A）空集（B）单元集（C）二元集... 运行环境：Win9X/2000/XP/2003/授权方式：免费版推荐星级：全国高中数学联赛模拟试题及答案2未知2008-03-091· 全国高中数学联赛模拟试题（二）（命题人：江厚利审题人：李潜）第一试一、选择题（每小题6分，共36分）1、已知集合，．若，则a的所有取值是（A）－1，1（B）－1，（C）±1，2（D） 运行环境：Win9X/2000/XP/2003/授权方式：免费版推荐星级：全国高中数学联赛模拟试题及答案1未知2008-03-091· 全国高中数学联赛模拟试题（一）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、方程6×(5a2＋b2)＝5c2满足c≤20的正整数解(a,b,c)的个数是（A）1（B）3（C）4（D）52、函数（x∈R... 运行环境：Win9X/2000/XP/2003/授权方式：免费版推荐星级：全国高中数学联赛竞赛试题 2004年未知2008-03-091· 2004年全国高中数学联赛竞赛试题一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、设锐角θ使关于x的方程x2+4xcosθ+cotθ=0有重根，则θ的弧度数为（）A.π/6B.π/12或5π/12C.π/... 运行环境：Win9X/2000/XP/2003/授权方式：免费版推荐星级：全国高中数学联赛二试试题 2007年未知2008-03-090· 2007年全国高中数学联赛二试试题一、如图，在锐角中，ABAC,是边上的高，是线段内一点。过作，垂足为，作，垂足为F。、分别是、的外心。求证：、、、F四点共圆的充要条件为是的垂心。 运行环境：Win9X/2000/XP/2003/授权方式：免费版推荐星级：江苏赛区高中数学联赛试题及答案 2005年未知2008-03-090· 2005年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案
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试 题
一、填空题（每小题10分，共 分）
、 是这样的一个四位数，它的各位数字之和为 ；像这样各位数字之和为 的四位数总共有 个．
、设数列 满足: ,且对于其中任三个连续项 ,都有: .则通项 ．
、以抛物线 上的一点 为直角顶点，作抛物线的两个内接直角三角形 与 ，则线段 与 的交点 的坐标为 ．
、设 ，则函数 的最大值是 ．
、 ．
、正三棱锥 的底面边长为 ，侧棱长为 ，过点 作与侧棱 都相交的截面 ，那么， 周长的最小值是 ．
、满足 的一组正整数 ．
、用 表示正整数 的各位数字之和，则 ．
二、解答题（共 题，合计 分）
、（20分）、设 ，且满足： ，求 的值．
、（ 分）如图， 的内心为 ， 分别是
的中点， ，内切圆 分别与边 相切于 ；证明： 三线共点．
、（ 分）在电脑屏幕上给出一个正 边形，它的顶点分别被涂成黑、白两色；某程序执行这样的操作：每次可选中多边形连续的 个顶点（其中 是小于 的一个固定的正整数），一按鼠标键，将会使这 个顶点“黑白颠倒”，即黑点变白，而白点变黑；
、证明：如果 为奇数，则可以经过有限次这样的操作，使得所有顶点都变成白色，也可以经过有限次这样的操作，使得所有顶点都变成黑色；
、当 为偶数时，是否也能经过有限次这样的操作，使得所有的顶点都变成一色？证明你的结论．
解 答
、 ．提示：这种四位数 的个数，就是不定方程 满足条件 ， 的整解的个数；即 的非负整解个数，其中 ，易知这种解有 个，即总共有 个这样的四位数．（注：也可直接列举．）
、 ． 提示：由条件得，
，
所以
，
故 ，而 ；
；
于是
；
由此得
.
、 ．提示：设 ，则
，
直线 方程为
，
即 ，因为 ，则
，
即
，
代人方程得
，
于是点 在直线 上；
同理，若设 ，则 方程为
，
即点 也在直线 上，因此交点 的坐标为 ．
、 ．提示：由
所以，
，
即
，
当 ，即 时取得等号．
、 ．提示：
．
、 ．提示：作三棱锥侧面展开图，易知 ∥ ，且由周长最小，得 共线，于是等腰 ， ，
，
即 ， ，
，
所以 ，由 ，则
．
、 ．提示：由于 是 形状的数，所以 必为奇数，而 为偶数， 设 ， ，代人得
，
即
. ①
而 为偶数，则 为奇数，设 ，则
，
由①得，
， ②
则 为奇数，且 中恰有一个是 的倍数，当 ，为使 为奇数，且 ，只有 ，②成为
，
即 ，于是 ；
若 ，为使 为奇数，且 ，只有 ，②成为 ，即 ，它无整解；
于是 是唯一解： ．
（另外，也可由 为偶数出发，使
为 的倍数，那么 是 的倍数，故 是 形状的偶数，依次取 ，检验相应的六个数即可．）
、 ．提示：添加自然数 ，这样并不改变问题性质；先考虑由 到 这一千个数，将它们全部用三位数表示，得到集 ，易知对于每个 ，首位为 的“三位数”恰有 个： ，
这样，所有三位数的首位数字和为
.
再将 中的每个数 的前两位数字互换，成为 ，得到的一千个数的集合仍是 ，
又将 中的每个数 的首末两位数字互换，成为 ，得到的一千个数的集合也是 ，由此知
．
今考虑四位数：在 中，首位（千位）上，共有一千个 ，而在
中，首位（千位）上，共有一千个 ，因此
；
其次，易算出， . 所以，
．
、由
，
即
，
平方得
所以
，
即
，
所以
．
、如图，设 交于点 ，连 ，由于中位线 ∥ ，以及 平分 ，则 ，所以 ，因 ，得 共圆．所以 ；又注意 是 的内心，则
.
连 ，在 中，由于切线 ，所以
，
因此 三点共线，即有 三线共点．
、 证明：由于 为质数，而 ，则 ，据裴蜀定理，存在正整数 ，使
, ①
于是当 为奇数时，则①中的 一奇一偶．
如果 为偶数， 为奇数，则将①改写成：
，
令 ，上式成为 ，其中 为奇数， 为偶数．
总之存在奇数 和偶数 ，使①式成立；据①，
, ②
现进行这样的操作：选取一个点 ，自 开始，按顺时针方向操作 个顶点，再顺时针方向操作接下来的 个顶点……当这样的操作进行 次后，据②知，点 的颜色被改变了奇数次（ 次），从而改变了颜色，而其余所有顶点都改变了偶数次（ 次）状态，其颜色不变；称这样的 次操作为“一轮操作”，由于每一轮操作恰好只改变一个点的颜色，因此，可以经过有限多轮这样的操作，使所有黑点都变成白点，从而多边形所有顶点都成为白色；也可以经过有限多轮这样的操作，使所有白点都变成黑点，从而多边形所有顶点都成为黑色．
、当 为偶数时，也可以经过有限多次这样的操作，使得多边形所有顶点都变成一色．具体说来，我们将有如下结论：
如果给定的正多边形开初有奇数个黑点、偶数个白点，则经过有限次操作，可以将多边形所有顶点变成全黑，而不能变成全白；反之，如果给定的正多边形开初有奇数个白点、偶数个黑点，则经过有限次操作，可以将多边形所有顶点变成全白，而不能变成全黑；
为此，采用赋值法：将白点改记为“ ”，而黑点记为“ ”，改变一次颜色，相当于将其赋值乘以 ，而改变 个点的颜色，即相当于乘了 个（偶数个） ，由于 ；
因此当多边形所有顶点赋值之积为 ，即总共有奇数个黑点，偶数个白点时，每次操作后，其赋值之积仍为 ，因此无论操作多少次，都不能将全部顶点变白．
但此时可以变成全黑，这是由于，对于偶数 ，则①②中的 为奇数，设 是多边形的两个相邻顶点，自点 开始，按顺时针方向操作 个顶点，再顺时针方向操作接下来的 个顶点……当这样的操作进行 次后，据②知，点 的颜色被改变了偶数次（ 次），从而颜色不变，而其余所有 个顶点都改变了奇数次（ 次）状态，即都改变了颜色；再自点 开始，按同样的方法操作 次后，点 的颜色不变，其余所有 个顶点都改变了颜色；于是，经过上述 次操作后，多边形恰有 两个相邻顶点都改变了颜色，其余所有 个点的颜色不变．
现将这样的 次操作合并，称为“一轮操作”；每一轮操作，可以使黑白相邻的两点颜色互换，因此经过有限轮操作，总可使同色的点成为多边形的连续顶点；
于是当多边形开初总共有偶数个白点时，每一轮操作又可将相邻两个白点变成黑点，使得有限轮操作后，多边形所有顶点都成为黑色．
同理得，如果给定的正多边形开初总共有奇数个白点、偶数个黑点，经过有限次操作，可以使多边形顶点变成全白，而不能变成全黑；（只需将黑点赋值为“ ”，白点赋值为“ ”，证法便完全相同）．
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