怎么证明:如果一个数列收敛于a,那么它的任一子数列也收敛于a ？
利用反证法,如果数列a的一个子列不收敛于a,则可以推出,数列a不收敛于a,这与题设条件相矛盾，故假设不成立,它的任何一个子列也收敛。根据收敛的定义可知极限就是a
如果一个数列的任一子数列都收敛并且收敛于同一值，那么这个数列收敛。
任一数列中都能取出一个单调子列，证：
引入一个定义：如果数列中的一项大于在这个项之后的所有各项，则称这一项是一个“龙头”。7分2种情况：
1、如果在数列中存在无穷多个“龙头”，那么把这些作为“龙头”的项依次取出来，得到一个严格递减的数列。
2、这个数列中只有有限多个项（包括0）可以作为“龙头”，取出最后一个“龙头”的下一项（如果没有龙头就取数列的第一项），记作a（i（1）），由于a（i（1））不是“龙头”。
在它后面必有一项a（i（2）），满足a（i（1））i（1）；又因为a（i（2））也不是“龙头”，在它后面也必可找到一项a（i（3）），满足a（i（2））i（2）。
依次进行下去，得到的子列a（i（n）），它显然是一个递增的子列．所以任一数列中都能取出一个单调子列．下面证明数列a（n）有界充要条件是该数列的任何一个子列均有收敛子列。
证明：
当数列a（n）有界，对a（n）中的任一子序列a（i（n）），利用上述结论，能从a（i（n））中取出一个单调的子序列a（i（n（k）））；又因为a（n）有界，那么a（i（n（k）））也有界，单调有界数列必有极限。
所以a(i(n(k)))收敛,即a(n)中的任一子序列a(i(n))有收敛子列.必要性得证.当a(n)中的任一子序列a(i(n))有收敛子列时,这里用用反证法来证明a(n)有界。
假设a(n)无界,即对任给的A>0,存在自然数 n ,使得|a(n)|>A ；现取A=1,存在n(1),使得|a(n(1))|>1 ；取A=2,存在n(2),使得|a(n(2))|>2 。
.取A=k,存在n(k),使得|a(n(k))|>k ；.这样得到a(n)的一个子列 a(n(k)) ,满足 |a(n(k))|>k ,根据题目条件,a(n)中的任一子序列有收敛子列,那么 a(n(k)) (这是关于k的数列)有收敛子列,然而从 |a(n(k))|>k 这一点上。
可知 a(n(k)) 不可能有收敛子列,矛盾.所以 a(n) 有界.充分性得证.综上所述,数列a(n)有界充要条件是该数列的任何一个子列均有收敛子列。
扩展资料
A（n）数列收敛：显然任意子列收敛，当然有一子列收敛。
设A(nk)是A(n)的一个收敛于a的子列,于是对任给ε>0,存在K,当k>K时有：
｜A（nk）－a｜
用N－ε定义来做
对任意ε>0,都存在N1使任意N>N1时│aN-a│N2时│aN-a│2NO+1。
│aN-a│0，存在对应的K1，使任意k>K1时，│a(2k)-A│K2时，│a(2k+1)-A│<ε。
取K0＝max｛K1，K2｝，N＝2K0＋1。当n＞N＝2K0＋1时。
①若n为偶数2k，则n＞N=2K0+1 就是 2k＞2K0+1＞2K1+1＞2K1，k＞K1，恒成立 |a(n)-A|=|a(2k)-A│<ε。
②若n为奇数2k+1，则n＞N=2K0+1 就是 2k+1＞2K0+1＞2K2+1，k＞K2，恒成立 |a(n)-A|=|a(2k+1)-A│<ε，这样，无论n是偶数还是奇数，恒成立 |a(n)-A|＜ε。
设数列{an}的子列{a(kn)}（n为k的下标）收敛于a，则对任意的s>0，存在N，使得对任意m>n>N，有：
|a(kn)-a|<s/2.(收敛定义）且
|a(km)-a(kn)|<s/2.(柯西收敛准则）。
取N'=k(N+1)(N+1是k的下标），则当n>N'(>N+1)时：
|an-a|<|an-a(kn)|+|a(kn)-a|<|an-a(kn)|+s/2
而{an}单增，故上式中|an-a(kn)|=a(kn)-an<a(kn)-aN'=|aN'-a(kn)|<s/2.故：
|an-a0|<s.所以{an}也收敛于a。
数列收敛是设数列{Xn}，如果存在常数a（只有一个），对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|<q成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a）。
如果数列Xn收敛，每个收敛的数列只有一个极限。如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论：无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数列发散不一定无界。数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。
设数列{an}的子列{a(kn)} （n为k的下标）收敛于a，则对任意的s>0,存在N，使得对任意m>n>N,有
|a(kn)-a|<s/2. (收敛定义）且
|a(km)-a(kn)|<s/2. (柯西收敛准则）。
取 N'=k(N+1) (N+1是k的下标）, 则当 n>N'(>N+1)时
|an-a|<|an-a(kn)|+|a(kn)-a|<|an-a(kn)|+s/2
而{an}单增，故上式中|an-a(kn)|=a(kn)-an<a(kn)-aN'=|aN'-a(kn)|<s/2.故
|an-a0|<s. 所以{an}也收敛于a.
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