高中奥数 2022-01-25

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2022-01-25-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 习题一 P055 习题41）

数列 定义如 ,且

证明: 为整数的充要条件是 为素数.

证明

令 , ,则 , ,且当 时,有 ,即

利用(1)递推可得

得 ,裂项求和,知 .

结合Wilson定理:当且仅当 为素数时, ,可知 的充要条件是 为素数.

2022-01-25-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 习题一 P056 习题42）

给定素数 ,令 .定义数列 如下

求 除以 所得的余数.

解

引理 设 、 , ,则

对 归纳予以证明.当 时,(1)就是 ,故(1)对 成立.

现设(1)对k成立,考虑 的情形.此时 ,下标 的最小值在 时取到,该最小值为 ,所以,下面求和式中的每一项都可用条件中的递推式.

由归纳假设知,当 时,有

最后一步,用到 .

所以,(1)对 成立,引理获证.

下面利用引理来处理原题.

当 时,在引理中令 ,就有

熟知,当 时,有 ,所以, ,这时结合 ,可得 ,这表明对任意 ,有 .

由于 ,故 ,而 ,所以 ,即 除以 所得的余数为 .

2022-01-25-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 习题一 P056 习题43）

设 为不小于2的正整数, , 为整数,考虑由递推式

定义的数列 .用 表示满足 的最小下标 .

(i)设 为给定的正整数,求 和 的值;

(ii)证明:对任意 和 都有 .

解

为方便计,记 , ,则 ,且

这表明 ,且

(i)题中的 和 等价于针对 求 和 .

前者等价于求最小 ,使得 ,后者等价于求最小的 ,使得 .

显然 ,而对 ,都有 ,故 .

又 ,从而 ,又对 ,都有 ,于是 ,故 .

所以,针对 有 , .

(ii)还是转到 上讨论,要求证明: .

现设 ,则 ,从而 ,这表明 (这里用到类似于初等数论中阶的性质),即有 ,命题成立.

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