高中数学导数题目

高中数学导数题目~

f(x)=a(x-2lnx)+1/x-1/x^2,x>0,
f'(x)=a(1-2/x)-1/x^2+2/x^3
=(1-2/x)(a-1/x^2)
=(x-2)(ax^2-1)/x^3.
(1)a0,f(x)是增函数；
x>2时f'(x)<0,f(x)是减函数。
a>0时ax^2-1=a(x+1/√a)(x-1/√a),由序轴标根法知，
i)a=1/4时x>2时f'(x)>0,f(x)是增函数；0<x<2时f'(x)<0,f(x)是减函数；
ii)01/√a时f'(x)>0,f(x)是增函数，
2<x<1/√a时f'(x)<0,f(x)是减函数；
iii)a>1/4时02时f'(x)>0,f(x)是增函数，
1/√a<x<2时f'(x)<0,f(x)是减函数。
（2）f(x)有两个零点：
i)a0,
所以-1/（8-8ln2）<a<=0;
ii)a>0时f(2)>0,
f(1/√a)=a(1/√a+lna)+√a-a<0,
即2+√alna-√a<0,①
设u=√a,g(u)=2+2ulnu-u,
g'(u)=2lnu+1=0,u0=1/√e,
g(u)>=g(u0)=2-2/√e>0,
所以①无解，f(x)没有两个零点。
综上，-1/（8-8ln2）<a<=0。

y=ax∧2+1
导函数为y=2ax
与直线y=x相切 即函数某点处的切线斜率为1

y=2ax y=1 解得x=1/2a
又因为切点在直线y=x上， 所以切点坐标为（1/2a,1/2a
)

切点坐标带入y=ax∧2+1 解得a=1/4

发一下原题
已知函数f（x）=x2+alnx-2（a＞0）
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＞2（a-1）成立，试求实数a的取值范围；
（Ⅲ）记g（x）=f（x）+x-b（b∈R）．当a=1时，方程g（x）=0在区间[e-1，e]上有两个不同的实根，求实数b的取值范围．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性．
专题：综合题；导数的综合应用．
分析：（Ⅰ）由f（x）=x2+alnx-2（a＞0），知f（x）的定义域为（0，+∞）．f′(x)=-2x2+ax，且知直线y=x+2的斜率为1．由此能求出f（x）的单调区间．
（ II） 由f′(x)=-2x2+ax=ax-2x2，推导出当x=2a时，函数f（x）取得最小值，ymin=f(2a)．因为对任意的x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，所以f(2a)＞2(a-1)即可．由此能求出a的取值范围．
（ III）依题意得g(x)=2x+lnx+x-2-b，则g′(x)=x2+x-2x2．由此能推导出b的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x2+alnx-2（a＞0），
∴函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
∵f′(x)=-2x2+ax，且知直线y=x+2的斜率为1．
∴f′(1)=-212+a1=-1，解得a=1．
∴f(x)=2x+lnx-2.f′(x)=x-2x2．
由f'（x）＞0，解得x＞2；由f'（x）＜0，解得0＜x＜2．
所以f（x）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）
（ II） f′(x)=-2x2+ax=ax-2x2．
由f'（x）＞0，解得x＞2a；由f'（x）＜0解得0＜x＜2a．
所以f（x）在区间(2a，+∞)上单调递增，在区间(0，2a)上单调递减．
所以当x=2a时，函数f（x）取得最小值，ymin=f(2a)．
因为对任意的x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，
所以f(2a)＞2(a-1)即可．
∴22a+aln2a-2＞2(a-1)．即aln2a＞a，解得0＜a＜2e．
所以a的取值范围是(0，2e)．
（ III）依题意得g(x)=2x+lnx+x-2-b，则g′(x)=x2+x-2x2．
由g'（x）＞0解得x＞1；由g'（x）＜0解得0＜x＜1．
所以函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数．
又因为方程g（x）=0在区间[e-1，e]上有两个不同的实根，
所以g(e-1)≥0g(e)≥0g(1)＜0，
解得1＜b≤2e+e-1．
所以b的取值范围是(1，2e+e-1]．
点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，考查推理论证能力，考查等价转化思想，考查分类讨论思想，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．

第一问很简单，由题意知，x=1时的导数为-1得到值为3
第二问转化为函数1y=b+2与函数2y=2/x+3lnx的交点在取值区间上就可以了，答案自己算吧

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