如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1,0),C(3,0),D(3，4).以A为顶点的抛物线
解：（1）A（1，4）。由题意，设抛物线解析式为y=a（x﹣1） 2 +4∵抛物线过点C（3，0），∴0=a（3﹣1） 2 +4，解得，a=﹣1。∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1） 2 +4，即y=﹣x 2 +2x+3。（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，∵A（1，4），C（3，0），∴ ，解得 。∴直线AC的解析式为y=﹣2x+6。∵点P（1，4﹣t），∴将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，解得点E的横坐标为 。∴点G的横坐标为 ，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为 。∴GE=（ ）﹣（4﹣t）= 。又点A到GE的距离为 ，C到GE的距离为 ，∴ 。∴当t=2时，S △ACG 的最大值为1。（3） 或 。 （1）根据矩形的性质可以写出点A得到坐标；由顶点A的坐标可设该抛物线的顶点式方程为y=a（x﹣1） 2 +4，然后将点C的坐标代入，即可求得系数a的值（利用待定系数法求抛物线的解析式）。（2）利用待定系数法求得直线AC的方程y=﹣2x+6；由图形与坐标变换可以求得点P的坐标（1，4﹣t），据此可以求得点E的纵坐标，将其代入直线AC方程可以求得点E或点G的横坐标；然后结合抛物线方程、图形与坐标变换可以求得GE= 、点A到GE的距离为 ，C到GE的距离为 ；最后根据三角形的面积公式可以求得 ，由二次函数的最值可以解得t=2时，S △ACG 的最大值为1。（3）因为菱形是邻边相等的平行四边形，所以点H在直线EF上。分CE是边和对角线两种情况讨论即可。 由题设和（2）知，C（3，0），Q（3，t），E（ ），设H（ ）。当CE是对角线时，如图1，有CQ=HE=CH，即 ，解得， 或t=4（舍去，此时C，E重合）。当CE是边时，如图2，有CQ=CE=EH，即 ，解得， 或 （舍去，此时已超过矩形ABCD的范围）。综上所述，当 或 时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形。
解：（1）A（1，4）
由题意知，可设抛物线解析式为y=a（x-1）2+4
∵抛物线过点C（3，0），
∴0=a（3-1）2+4，
解得，a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4，即y=-x2+2x+3
（2）∵A（1，4），C（3，0），
∴可求直线AC的解析式为y=-2x+6．
∵点P（1，4-t）．…（3分）
∴将y=4-t代入y=-2x+6中，解得点E的横坐标为x=1+t\2
∴点G的横坐标为1+t\2，，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为4-t²\4
∴GE=（4-t²\4）-（4-t）=t-t²\4
又点A到GE的距离为t\2，C到GE的距离为2-t\2
即S△ACG=S△AEG+S△CEG=1\2•EG•t\2+1\2•EG（2-t\2）=1\2•2（t-t²\4）=-1\4（t-2）2+1
当t=2时，S△ACG的最大值为1
（3）第一种情况如图1所示，点H在AC的上方，由菱形CQHE知CQ=CE=t，
根据△APE∽△ABC，知
AP\AB=AE\AC即t\4=2根号5-t\2根号5，解得，t=20-8根号5
第二种情况如图2所示，点H在AC的下方，由菱形CQHE知CQ=QE=EH=HC=t，PE=1\2t
，EM=2-1\2t，MQ=4-2t．
则在直角三角形EMQ中，根据勾股定理知EM2+MQ2=EQ2，即（2-1\2t)2+（4-2t）2=t2
解得，t1=20\13，t2=4（不合题意，舍去）．
综上所述，t=20-8根号5或t=20\13
由题意知，可设抛物线解析式为y=a（x-1）2+4
∵抛物线过点C（3，0），
∴0=a（3-1）2+4，
解得，a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4，即y=-x2+2x+3
（2）∵A（1，4），C（3，0），
∴可求直线AC的解析式为y=-2x+6．
∵点P（1，4-t）．…（3分）
∴将y=4-t代入y=-2x+6中，解得点E的横坐标为x=1+t\2
∴点G的横坐标为1+t\2，，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为4-t²\4
∴GE=（4-t²\4）-（4-t）=t-t²\4
又点A到GE的距离为t\2，C到GE的距离为2-t\2
即S△ACG=S△AEG+S△CEG=1\2•EG•t\2+1\2•EG（2-t\2）=1\2•2（t-t²\4）=-1\4（t-2）2+1
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（3）第一种情况如图1所示，点H在AC的上方，由菱形CQHE知CQ=CE=t，
根据△APE∽△ABC，知
AP\AB=AE\AC即t\4=2根号5-t\2根号5，解得，t=20-8根号5
第二种情况如图2所示，点H在AC的下方，由菱形CQHE知CQ=QE=EH=HC=t，PE=1\2t
，EM=2-1\2t，MQ=4-2t．
则在直角三角形EMQ中，根据勾股定理知EM2+MQ2=EQ2，即（2-1\2t)2+（4-2t）2=t2
解得，t1=20\13，t2=4（不合题意，舍去）．
综上所述，t=20-8根号5或t=20\13
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如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1,0),C(3,0),D(3，4).以A为顶点的抛物线视频
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