2.已知正项等比数列{an }中, a1=1,Sn 为{an}前n项和, S5=5S3-4, 则？
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已知正项等比数列 {an} 中，a1=1，Sn 为 {an} 前 n 项和，S5=5S3-4。我们需要找出数列的公比 r，并求出数列的通项公式。
首先，我们知道数列的前 n 项和公式为：
Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)
其中，a1=1 是首项，r 是公比。因为是等比数列，所以每一项与前一项的比值都是相同的，即公比 r。
根据题目中的条件 S5=5S3-4，我们可以列出等式：
S5 = 5 * S3 - 4
将前 n 项和公式代入上式，得到：
a1 * (1 - r^5) / (1 - r) = 5 * a1 * (1 - r^3) / (1 - r) - 4
因为 a1 = 1，可以简化为：
(1 - r^5) / (1 - r) = 5 * (1 - r^3) / (1 - r) - 4
现在我们需要解这个方程来求出 r 的值。
首先，将分母消掉，得到：
1 - r^5 = 5 * (1 - r^3) - 4 * (1 - r)
化简：
1 - r^5 = 5 - 5r^3 - 4 + 4r
移项：
r^5 - 5r^3 - 4r + 2 = 0
这是一个五次方程，可以使用数值方法（如牛顿法）来求解 r 的近似值。由于这里涉及到复杂的计算，我无法直接给出 r 的值。但你可以通过数值计算来得到 r 的近似值，然后利用 r 的值来求出数列的通项公式。
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首先，我们知道数列的前 n 项和公式为：
Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)
其中，a1=1 是首项，r 是公比。因为是等比数列，所以每一项与前一项的比值都是相同的，即公比 r。
根据题目中的条件 S5=5S3-4，我们可以列出等式：
S5 = 5 * S3 - 4
将前 n 项和公式代入上式，得到：
a1 * (1 - r^5) / (1 - r) = 5 * a1 * (1 - r^3) / (1 - r) - 4
因为 a1 = 1，可以简化为：
(1 - r^5) / (1 - r) = 5 * (1 - r^3) / (1 - r) - 4
现在我们需要解这个方程来求出 r 的值。
首先，将分母消掉，得到：
1 - r^5 = 5 * (1 - r^3) - 4 * (1 - r)
化简：
1 - r^5 = 5 - 5r^3 - 4 + 4r
移项：
r^5 - 5r^3 - 4r + 2 = 0
这是一个五次方程，可以使用数值方法（如牛顿法）来求解 r 的近似值。由于这里涉及到复杂的计算，我无法直接给出 r 的值。但你可以通过数值计算来得到 r 的近似值，然后利用 r 的值来求出数列的通项公式。
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