平面向量的加法
向量的共线运算。
设a、b是两个不共线且起点相同的非零向量,如果a,tb, (1/3)(a+b)三向量终点在同一直线上,则t=
令向量A=a-tb
向量B=a-(1/3)(a+b)
那么a,tb, (1/3)(a+b)三向量终点在同一直线上就等价于向量A和B共线,即
A=kB,k是比例系数
a-tb=k[a-(1/3)(a+b)],化简得到
[1-(2/3)k]a=[t-(1/3)k]b
因为a、b不共线,那么
1-(2/3)k=0且t-(1/3)k=0,解得
k=3/2,t=1/2
1、向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则
AB+BC=AC;a+b=(x+x',y+y');a+0=0+a=a
2、向量加法的运算律:
交换律:a+b=b+a
结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
3、向量的减法:如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0;AB-AC=CB,即“共同起点,指向被减”;a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y')。
AB-AC=CB(减法:起点相同,指向被减向量)
BD-CD=BD+DC=BC(CD,DC互为相反向量;加法的三角形法则:首尾相接,从起点指向终点)
ab-ac+bd-cd=CB+BC=0向量
平面向量是在二维平面内既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量,物理学中也称作矢量,与之相对的是只有大小、没有方向的数量(标量)。平面向量用a,b,c上面加一个小箭头表示,也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。以下是整理出来的平面向量的公式
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x',y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律:
交换律:a+b=b+a;
结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0
AB-AC=CB. 即“共同起点,指向被减”
a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').
3、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
当λ>0时,λa与a同方向;
当λ<0时,λa与a反方向;
当λ=0时,λa=0,方向任意。
当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。
注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;
当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律:(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。
向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律:① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。
平面向量的加法视频
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