如图(1)在平面直角坐标系中A(0,4),B(-4,0),C(4,0),连结AB、AC。
（1）作CD⊥x轴于点D，∴∠CDA=90°．∵∠AOB=90°，∴∠AOB=∠CDA．∴∠DAC+∠DCA=90°．∵AC⊥AB，∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=90°，∴∠BAD=∠ACD．在△AOB和△CDA中∠AOB＝∠CDA∠BAD＝∠ACDBA＝AC，∴△AOB≌△CDA（AAS），∴AO=CD，OB=DA．∵A（-2，0），B（0，4），∴OA=2，OB=4，∴CD=2，DA=4，∴OD=2，∴OD=CD．∵点C在第四象限，∴C（2，-2）．∵∠CDO=90°，∴∠COD=45°．∴∠COA=180°-45°=135°．（2）∵PC∥x轴，∴点P到x轴的距离相等，∴S△POM=S△COM．∴S△POM+S△BOM=S△COM+S△BOM=S△BOC．∴S△POM+S△BOM=S△BOC=4×22=4．故答案为：4．
解答：解：（1）∵A（0，8），B（8，O），C（-8，0），∴OA=OC=OB=8，∴AC=BC=82，且∠CAB=45°+45°=90°，∴△ABC为等腰直角三角形；（2）∵OE⊥DO，∴∠DOA+∠AOE=∠BOE+∠AOE=90°，∴∠DOA=∠BOE，在△ADO和△BEO中，∠DOA＝∠BOEAO＝BO∠DAO＝∠EBO，∴△ADO≌△BEO（ASA），∴S△ADO=S△BEO，∴S四边形ADOE=S△ADO+S△AOE=S△BEO+S△AOE=S△AOB=12AO?OB=32；（3）过G作GN⊥x轴交x轴于点N，∵AK⊥GB，∠MBO=30°，∴∠KAO+∠AKO=∠KAO+∠MBO=90°，∴∠KAO=30°，∠AKO=60°，∵∠CAO=45°，∴∠CAK=45°-∠KAO=45°-30°=15°，∠∵GK⊥AC，∴∠GKA+∠CAK=90°，∴∠GKA=90°-15°=75°，∴∠GKC=180°-75°-60°=45°，在Rt△OMB中，OB=8，∴OM=833，BM=2OM=1633，在Rt△AKO和Rt△BMO中，∠AKO＝∠MBO∠AOK＝∠BOMAO＝BO，∴△AKO≌△BMO（AAS），∴KO=OM=833，∴BK=8+833，BN=BK+KN=8+833+KN，∵OM∥GN，∴OMGN=BOBN，且GN=KN，∴833GN=88+833+GN∴GN=1633+8，∴BG=3233+16，∴BG=BM+2BK．
（BG-AK）/GK值不变，等于1。也即有等式AK+GK=BG成立。现证明之。证明：RTΔAOK和RTΔBOM中，有
<AOK=<BOM=90°；
<OAK=<OBM=90°-<AKB；
OA=OB，
于是有RTΔAOK≌RTΔBOM，则BM=AK。另有OK=OM，则<OKM=45°。另有<OAK=<OBM。
ΔMGK中：
<GMK=<MBK+<OKM=<OBM+45°，
<GKM=180°-<MKO-<GKC=180°-45°-(90°-<OCM)=<OCM+45°，
而<OBM=<OCM，故有<GMK=<GKM，则MG=GK。
因此有BG=BM+MG=AK+GK。命题得证。
看不见图
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