一个教授逻辑学的教授，有三个学生，而且三个学生均非常聪明！ 一天教授给他们出了一个题，教授在

一个教授逻辑学的教授，有三个学生，而且三个学生均非常聪明！~

答案是：36和108

思路如下：

首先说出此数的人应该是二数之和的人，因为另外两个加数的人所获得的信息应该是均等的，在同等条件下，若一个推不出，另一个也应该推不出。（当然，我这里只是说这种可能性比较大，因为毕竟还有个回答的先后次序，在一定程度上存在信息不平衡）

另外，只有在第三个人看到另外两个人的数是一样时，才可以立刻说出自己的数。

以上两点是根据题意可以推出的已知条件。

如果只问了一轮，第三个人就说出144，那么根据推理，可以很容易得出另外两个是48和96，怎样才能让老师问了两轮才得出答案了？这就需要进一步考虑：

A：36（36/152） B：108（108/180） C：144（144/72）

括弧内是该同学看到另外两个数后，猜测自己头上可能出现的数。现推理如下：

A，B先说不知道，理所当然，C在说不知道的情况下，可以假设如果自己是72的话，B在已知36和72条件下，会这样推理──“我的数应该是36或108，但如果是36的话，C应该可以立刻说出自己的数，而C并没说，所以应该是108！”然而，在下一轮，B还是不知道，所以，C可以判断出自己的假设是假，自己的数只能是144！
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给你上课的教授为何说是169？？你要QM吐血啊！！
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　　在逻辑推理中有一类比较特殊的问题——“思维嵌套”问题，即在C的脑海中要考虑B是如何思考A的想法。这种问题通常非常抽象，考虑情况又十分繁多，思想过程极其复杂，用一般方法分析效果极差。

　　一、问题原形

　　一位逻辑学教授有三名善于推理且精于心算的学生A，B和C。有一天教授给他们三人出了一道题：教授在每个人的脑门上贴了一张纸条并告诉他们，每个人的纸条都写了一个大于0的整数，且某两个数的和等于第三个。于是，每个学生都能看见贴在另外两个同学头上的整数，但却看不见自己的数。

　　教授轮流向A，B和C发问：是否能够猜出自己头上的数。经过若干次的提问之后，当教授再次询问某人时，他突然露出了得意的笑容，把贴在自己头上的那个数准确无误地报了出来。

　　我们的问题就是：证明是否有人能够猜出自己头上的数，若有人能够猜出，则计算最早在第几次提问时有人先猜出头上的数。

　　我们先分析一个简单的例子，观察每个人是如何进行推理的。

　　假设A，B和C三人，头上的数分别是l，2和3。

　　l. 先问A

　　这时，A能看见B，C两人头上的数分别是2，3。A会发现自己头上只可能为3+2=5，或者3-2=1。可到底是l还是5，A无法判断，所以只能回答“不能”。

　　2.再问B

　　B会发现自己头上只可能为3+1=4，或者3-1=2。可到底是2还是4，B只能从A的回答中入手分析：(以下为B脑中的分析)

　　如果自己头上是2。则A能看见B，C两人头上的数分别是2，3，A会发现自己头上只可能为3+2=5，或者3- 2=1。到底是l还是5，A无法判断，只能回答“不能”。这与A实际的回答相同，并不矛盾，所以B无法排除这种情况。

　　如果自己头上是4。则A能看见B，C两人头上的数分别是4，3，A会发现自己头上只可能为4+3=7，或者4-3=１。到底是l还是7，A无法判断，只能回答“不能”。这也与A实际的回答相同，并不矛盾，所以B也无法排除这种情况。

　　B无法判断，只能回答“不能”。

　　3．再问C

　　C会发现自己头上只可能为2+1=3，或者2-1=l。可到底是l还是3．C只能从A或B的回答中入手分析：(以下为C脑中的分析)

　　如果自己头上是1。

　　A会发现自己头上只可能为2+l=3，或者2-1=1。可到底是l还是3，是无法判断的，只能回答“不能”。这与A实际的回答相同，并不矛盾。

　　B会发现自己头上只可能为1+1=2(因为B头上是大于0的整数，所以B头上不能是1-l=0)。B应回答“能”。但这与B实际的回答矛盾。C能以此排除头上是1这种情况。

　　继续分析C头上是3这种情况，会发现毫无矛盾(与实际情况相符)。

　　C将准确判断头上的数是3，所以回答“能”。所以在第三次提问时有人猜出头上的数。

　　我们从每个人的角度出发，分析了头上数是l，2和3的情况。这种方法也是我们解决简单的逻辑推理问题所采用的普遍做法。但如果将问题的规模变大，会发现问题的复杂程度会急剧上升，几乎是多一次推理，问题的复杂度就要变大一倍。

　　靠如此烦琐的推理是不能很好解决问题的。原因在于有大量的“思维嵌套”。即：在C的脑海中要考虑B是如何思考A的想法。此外，这种方法不能够推导出有普遍意义的结论。让我们换一种思路来解决问题。

　　下面我们用第一位、第二位、第三位学生分别表示A，B，C三人。

　　经推论，无论三个数如何变化，无论从谁开始提问，必然是头上数最大的人最先猜出自己头上的数。

　　由上述结论，对于，(a1,a2,a3,k)可以定义f(a1,a2,a3,k)的递推式：

　　当k=1时

　　当a2=a3时，f(a1,a2,a3,1)=1

　　当a2＞a3时，f(a1,a2,a3,1)=f(a2-a3,a2,a3,2)+2

　　当a2＜a3时，f(a1,a2,a3,1)=f(a3-a2,a2,a3,3)+1

　　当k=2时

　　当a1=a3时，f(a1,a2,a3,2)=2

　　当a2＞a3时，f(a1,a2,a3,2)=f(a1,a1-a3,a3,1)+1

　　当a2＜a3时，f(a1,a2,a3,2)=f(a1,a3-a1,a3,3)+2

　　当k=3时

　　当a1=a2时，f(a1，a2，a3，3)=3

　　当a1＞a2时，f(al，a2，a3，3)=f(a1，a2，a1-a2,1)+2

　　当al＜a2时，f(a1，a2，a3，3)=f(a1，a2，a2-a1,2)+1

　　由于我们只考虑(a1，a2，a3，k)∈= S3，因此k可由a1,a2,a3三个数直接确定，因此f(a1,a2,a3,k)可以简化为f(a1,a2,a3)。

　　利用上面的公式，通过计算机编程来辅助解决问题。

　　由于建立了线性的递推关系，因此避免了问题规模随着提问次数呈指数型增长，有效地解决了问题，其解决方法是建立在对问题的深入分析之上的。现在让我们总结解决问题中思路的主线：

　　提炼重要的前提条件→考虑何种情形为“终结情形” →对非“终结情形"建立推理的等价关系→考虑何种情形能归结到“终结情形”→分情况讨论并加以证明→得出结论并改写等价关系→得出公式。

　　整个过程是从分析问题的本质入手，而非一味单纯地从每个人思想出发，并推导出普遍意义的结论。从全局的角度分析问题，避免了最烦琐的“思维嵌套"，并且使得问题规模从指数型转变为线性。

　　二、第一种推广

　　一位逻辑学教授有n(n≥3)名非常善于推理且精于心算的学生。有一天，教授给他们出了一道题：教授在每个人脑门上贴了一张纸条并告诉他们，每个人的纸条上都写了一个大于0的整数，且某个数等于其余n-1个数的和。于是，每个学生都能看见贴在另外n-1个同学头上的整数，但却看不见自己的数。

　　教授轮流向学生发问：是否能够猜出自己头上的数。经过若干次的提问之后，当教授再次询问某人时，此人突然露出了得意的笑容，把贴在自己头上的那个数准确无误地报了出来。

　　我们的问题就是：证明是否有人能够猜出自己头上的数，若有人能够猜出，则计算最早在第几次提问时有人先猜出头上的数，分析整个推理的过程，并总结出结论。

　　经推论，无论n个数如何变化，无论从谁开始提问，必然是头上数最大的人最先猜出自己头上的数。

　　由上述结论，对于(a1,a2…,an,k)，可以定义f((a1,a2…,an,k)的递推式：

　　当2W-M≤0时，f((a1,a2…,an,k)=k，

　　当2W-M>O时

　　设ai’=ai，其中，i≠k，ak’=2W-M

　　当v＜k时，f(a1,a2…,an,k)=f(a1’,a2’…,an’,v)+k-v

　　当v＞k时，f(a1,a2…,an,k)=f(a1’,a2’…,an’,v)+n-k+v

　　由于我们只考虑(a1,a2…,an,k)∈=S3，因此k可由n个数直接确定，因此f(a1,a2…,an,k)可以简化为f(a1,a2…,an)。

　　利用上面的公式，通过计算机编程来辅助解决问题。

　　至此，第一种推广情形就解决了。可以发现n=3时情形的证明，对解决一般情形提供了很好的对比，使得我们能够较为轻松地解决问题，这其实也是建立在对n=3时的情形的分析之上的。

　　三、第二种推广

　　一位逻辑学教授有n(n≥3)名非常善于推理且精于心算的学生。有一天，教授给他们出了一道题：教授在每个人脑门上贴了一张纸条并告诉他们，每个人的纸条上都写了一个大于0的整数，并将他们分成了两组(一组学生有m人，(m≥n／2)，且学生并不知道如何分组)，且两组学生头上数的和相等。于是，每个学生都能看见贴在另外n一1个同学头上的整数，但却看不见自己的数。

　　教授轮流向学生发问：是否能够猜出自己头上的数。经过若干次的提问之后，当教授再次询问某人时，此人突然露出了得意的笑容，把贴在自己头上的那个数准确无误地报了出来。

　　我们的问题就是：证明是否有人能够猜出自己头上的数，若有人能够猜出，则计算最早在第几次提问时有人先猜出头上的数。

　　由于当n=3时，m只可能为2，即为问题原形，而对于m=n-1，即第一种推广情形。因此只讨论n＞3，m＜n-1时的情形。

　　对于每个人判断自己头上的数，依据分组情况不同，头上的数就可能不同。

　　对(A1，A2，…,An，k)，第k位学生可以看见除自己外所有学生头上的数，并假设在某种分组情况下，可以计算出与自己不同组的学生头上数的和，由题目条件“两组学生头上数的和相等”，可以计算出自己头上的数。由于有Cmn种分组情况，因此相对应头上的数有Cmn种(其中可能也包括了一部分重复的数及非正整数)。

　　经推论，不存在情况使得没有人能够猜出头上的可能，且推理时四个数始终在减小，因此经过有限次推理之后，必然达到“终结情形”。

　　而对于第一种推广情形，即n=4，m=3，必然有人能猜出自己头上的数。因此n=4时的一切情况，必然有人能猜出自己头上的数。

　　由于现在的推理在加强判定的情况下，依然可能出现多种考虑情况。所以推理已不是线性的推理，整个推理过程将成为树状结构。

　　由于分组情况繁多，而且判定方式也比较复杂，因此这时计算f(A1，A2，…，An，k)的值已经非人力能够解决，但是可以利用上述证明的结论，依靠计算机强大的计算功能辅助解决问题。

经过第一轮，说明任何两个数都是不同的。第二轮，前两个人没有猜出，说明任何一个数都不是其它数的两倍。现在有了以下几个条件：1.每个数大于02.两两不等3.任意一个数不是其他数的两倍。每个数字可能是另两个之和或之差，第三个人能猜出144，必然根据前面三个条件排除了其中的一种可能。假设：是两个数之差，即x－y＝144。这时1（x，y>0）和2（x！＝y）都满足，所以要否定x＋y必然要使3不满足，即x＋y＝2y，解得x＝y，不成立（不然第一轮就可猜出），所以不是两数之差。因此是两数之和，即x＋y＝144。同理，这时1，2都满足，必然要使3不满足，即x－y＝2y，两方程联立，可得x＝108，y＝36。
这两轮猜的顺序其实分别为这样：第一轮（一号，二号），第二轮（三号，一号，二号）。这样分大家在每轮结束时获得的信息是相同的（即前面的三个条件）。
那么就假设我们是C，来看看C是怎么做出来的：C看到的是A的36和B的108，因为条件，两个数的和是第三个，那么自己要么是72要么是144（猜到这个是因为72的话，108就是36和72的和，144的话就是108和36的和。这样子这句话看不懂的举手）:
假设自己（C）是72的话，那么B在第二回合的时候就可以看出来，下面是如果C是72，B的思路：这种情况下，B看到的就是A的36和C的72，那么他就可以猜自己，是36或者是108（猜到这个是因为36的话，36加36等于72，108的话就是36和108的和）：
如果假设自己（B）头上是36，那么，C在第一回合的时候就可以看出来，下面是如果B是36，C的思路：这种情况下，C看到的就是A的36和B的36，那么他就可以猜自己，是72或者是0（这个不再解释了）：
如果假设自己（C）头上是0，那么，A在第一回合的时候就可以看出来，下面是如果C是0，A的思路：这种情况下，A看到的就是B的36和C的0，那么他就可以猜自己，是36或者是36（这个不再解释了），那他可以一口报出自己头上的36。（然后是逆推逆推逆推），现在A在第一回合没报出自己的36，C（在B的想象中）就可以知道自己头上不是0，如果其他和B的想法一样（指B头上是36），那么C在第一回合就可以报出自己的72。现在C在第一回合没报出自己的36，B（在C的想象中）就可以知道自己头上不是36，如果其他和C的想法一样（指C头上是72），那么B在第二回合就可以报出自己的108。现在B在第二回合没报出自己的108，C就可以知道自己头上不是72，那么C头上的唯一可能就是144了。

不是一般的难，好了，开始解题吧。这里还有一点非常重要的说明（隐含，可推理）：最终回答的人一定是数最大的。
设三个人分别为a\b\c.这里默认c最大，如果实际不是这样，即在原来的轮次上加1即可。
第一种情况：a\b\c分别为1\1\2——a看到b\c判断自己为1\3两种可能，故a回答不知道；同理b；c看到a,b知道头上数字只能为2，故c第一次能回答。
第二种情况：a\b\c分别为1\2\3——a看到b\c判断自己为1\5两者，答不出；同理b判断自己2\4，答不出；c判断自己3或1，c推理，如果是1，则情况同第一种情况，b应该能回答，故c判断自己为3，即c第一次能回答。
第三种情况：a\b\c分别为1\3\4——a看到b\c判断自己1\7，答不出；同理b判断自己3\5答不出；c判断自己2\4答不出，c推理，如果自己是2，则同情况同第二种情况，b应该在下一个回合能答出，如果答不出，那么c在第二次能回答，即c为4。
如此类推>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
第N种情况：a\b\c分别为1\N\N+1——a\b\c每回答一轮，推理即变成前一种情况，一直类推下去，到第N-1轮，如果b回答，则c为N-1，否则c在第N-1轮回答，即c为N+1。
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以下进行倍乘规则推理。
a\b\c分别为M\M*(N)\M*(N+1)——容易得到此种情况等同于a\b\c为1\N\N+1。
（还是写一下吧）
第一种情况：a\b\c分别为2\2\4——c在第一次能回答。
第二种情况：a\b\c分别为2\4\6——c判断自己2\6，若为2，b能回答，故c第一次能回答自己为6。
………………………写到这就不用写了吧。倍乘后同前面情况分析方法完全一致。
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任意情况了？即a\b\c分别为k+1\(k+1)+j\2*(k+1)+j。（去除倍乘后其他情况）
归纳推理如下（非常长，请耐心看）：
假设a=2;
第一种情况：a\b\c分别为2\3\5——首先a猜想2\8，答不出；b猜想3\7答不出；c猜想1\5，c推理，如果自己是1，则变为1\2\3情况，那么b在下一轮会答出，否则c第二轮回答，c为5。
第二种情况：a\b\c分别为2\5\7——（注意，跳过了2\4\6）首先a猜想2\12，答不出；b猜想5\9，答不出；c猜想3\7，c推理，如果自己是3，情况同上，b在第三轮能回答，否则c第三轮回答自己是7。
类推：a\b\c分为为2\2*k-1\2*(k+1)-1。每回答一次，情况变成前一种情况，一直下去，到第k轮，如果是b回答，则c为2*(k-1)-1，否则c第k轮回答，此时c=2*(k+1)-1。
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假设a=3;
第1.1种情况：a\b\c分别为3\4\7——首先a猜想3\11，答不出；b猜想4\10，答不出；c猜想1\7，c推理，如果自己是1，则变为1\3\4情况，b在第三个轮能回答，若不能，则c在第三轮回答，c为7。
第1.2种情况：a\b\c分别为3\5\8——首先a猜想3\13，答不出；b猜想5\11，答不出；c猜想2\8，c推理，如果自己是2,则变为2\3\5情况，b在第三轮能回答，若不能，则c第三轮回答，c为8。
第2.1种情况：a\b\c分别为3\7\10——首先a猜想3\17，答不出；b猜想7\13，答不出；c猜想4\10，c推理，如果自己是4，则变成3\4\7情况，b在第四轮能回答，若不能，则c在第四轮回答，c为10。
第2.2种情况：a\b\c分别为3\8\11——首先a猜想3\19，答不出；b猜想8\14，答不出；c猜想5\11，c推理，如果自己是5，则变成3\5\8情况，b在第四轮能回答，若不能，则c在第四轮回答，c为11.
类推：类推：a\b\c分为为3\3*k-1\3*(k+1)-1或3\3*k-2\3*(k+1)-2。每回答一次，情况变成前一种情况，一直下去。c在第k+2轮能回答。
*******************************************************************************快推完啦
假设a=s;
容易推导当0<t<s时，s\s*k-t\s*(k+1)-t情况都是等价的。
·以a\b\c分别为s\s*k-(s-1)\s*(k+1)-(s-1)为例——首先s猜想s\s*(2*k-1)+2，答不出；b猜想s*k-(s-1)\s*(k+2)-(s-1)，答不出；c猜想s*(k-1)-(s-1)\s*(k+1)-(s-1)，c推理，若自己是s*(k-1)-(s-1)，则变成s\s*(k-1)-(s-1)\s*k-(s-1)，即上一种情况，故每一次推论都会变成前一种情况，最终情况变为s\s+1\2*s+1。
·再来看a\b\c分别为s\s+1\2*s+1——首先a猜想s\3*s+2，答不出；b猜想s+1\3*s+1；c猜想1\2*s+1，c推理，若自己为1，则变为1\s\s+1；那么b能在s-1轮回答，若不能，则c能在第s-1轮回答。
故总次数为这两者推论次数的和：从s\s*k-(s-1)\s*(k+1)-(s-1)到s\s+1\2*s+1推论次数为k-1（不明白自己再推一下）。从s\s+1\2*s+1到1\2\3轮次为s-1。故总轮次为s-1+k-1=s+k-2。（隐含结论s>0,k>0）
我们来验证一下吧：s\s*k-(s-1)\s*(k+1)-(s-1)——1\2\3情况：s=1,k=2,轮次为s+k-2=1，正确；2\5\7情况：s=2,k=3,轮次为s+k-2=3，正确；3\8\11情况同3\7\10：s=3,k=3,轮次为s+k-2=4，正确。
顺便说一下，c第一轮就回答情况有两种：M\M\2*M或M\M*2\M*3，但如果c不是最大的，如M\2*M\M,则b照样第一轮能回答，但M\3*M\2*Mb第一轮不能回答，轮次加一到第二轮才回答。故实际上，这两种情况是不一样的，它只是针对c最大时是一样的而已，故实际上对于1\1\2由公式推论为s=1,k=1，轮次为s+k-2=0，即该情况独立出来解；另外所有情况均可以倍乘。
￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥喝口小酒放松一下，总算完工了。
好了，来解题吧。由题知c在轮次2就回答了，那么根据s+k-2=2，故只有s=1,k=3或s=2,k=2两种情况。即1\3\4（或其倍乘）情况或2\3\5（或其倍乘）情况。由于a\b\c均为正整数（默认的，不要问我为什么知道），排除2\3\5情况（5不能整除144），故为1\3\4情况。则有
a=36,b=108。

前两个 一个是48 一个是96 第三个是144

1 每个人虽然猜不出自己的数字 但是心里会有两个答案 自己的数字是这两个答案中的一个（心里的两个数字是另外两人的数字之和与数字之差）

2 如果在教授第一轮询问三个人 三个人都猜不到的情况下 由此说明 三个数字各不相同 因为假如有两个是相同的话 就会有人能猜出自己的数字（三个数字都是正整数，不会是0，所以如果有两个相同的数，除了两个相同的数字以外的第三个人肯定知道自己的数字不是另外两数之差，是两数之和）

3 第二轮询问中 第三个说猜出了自己的数字是144 由此说明他排除了心中两个答案之一 确定了剩下的一个是正确数字 那么 排除自己心中两个答案中错误的一个 肯定是因为他知道了自己的数字只能是另外两个数之和 并不是另外两数之差 否定了两数之差的可能性是根据 “2”
那么前两数之差肯定是和前两数中的一个相等 那么由此可知 前两数和为144 并且一个是另一个的二倍

4 列出方程x+y=144 x=2y 得知 x=96 y=48

36和108，因为设第一学生为A，第二学生为B，第三学生为c，如果A,B分别为36和108时，C可能为72或144。先假设C为72，A为36，B为108时，对B来说他就是36或108，如果他是36，那么C就会看到两个36，第一轮便会答出，既然没有，那么B就不是36了，那他必然就是108，但他第二轮也没答出，那么C就排除72的可能性。所以他就是144了。

另外两个是36和108，这也只是一种情况。

解析：由于三个学生第一次均不能猜出自己的数字，说明三个学生的数字不可能有重复且不可能出现一个数字是另一个数字的两倍（如果出现两个同样的数字的话，那个不同数字的学生一下子就能猜出来自己的数字是那两个数字的和，因为教授说了都是正整数，所以不可能出现0，同理如果出现一个数字是另一个数字的两倍的话，那么那个看到这两个数字的人也能猜出来，自己不是这两个数字的差，而是这两个数字的和）。

题目中第二轮最后一个同学能猜出来是144，说明144只能是前两个数的和（如果是前两个数的差的话，任何人都没有办法猜出来，因为你没有办法排除前两个数的和的可能性）。

根据前面的题意我们可以推算出X-Y=2Y，X+Y=144最终解出来X=144，Y=36

经过第一轮，说明任何两个数都是不同的。第二轮，前两个人没有猜出，说明任何一个数都不是其它数的两倍。
现在有了以下几个条件：1.每个数大于0
2.两两不等
3.任意一个数不是其他数的两倍。每个数字可能是另两个之和或之差，第三个人能猜出144，必然根据前面三个条件排除了其中的一种可能。
假设x>y：
情况一，是两个数之差，即x－y＝144。这时1（x，y>0）和2（x≠y）都满足，所以要x-y成立→否定（x＋y）→（x＋y）不满足条件3，即x＋y＝2y，解得x＝y，不成立（不然第一轮就可猜出），所以不是两数之差。
情况二，因此是两数之和，即x＋y＝144。同理，这时1，2都满足，必然要使x-y不满足条件3，即x－y＝2y，两方程联立，可得x＝108，y＝36。

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一个教授逻辑学的教授，有三个学生，而且三个学生均非常聪明！ 一天教授给他们出了一个题，教授在视频