求积分达人：∫r^3sqrt(1+r^2)dr 0<r<sqrt(2)。我解不出这个积分，找高手帮忙

求不定积分∫r^3 √(1+r^2) dr, 请写出详细解题过程~

令r = tanθ，dr = sec²θdθ
√(1 + r²) = √(1 + tan²θ) = √sec²θ = secθ
∫ r³√(1 + r²) dr
= ∫ (tan³θsecθ)(sec²θ) dθ
= ∫ tan³θsec³θ dθ
= ∫ tan²θsec²θ d(secθ)
= ∫ (sec²θ - 1)sec²θ d(secθ)
= ∫ (sec⁴θ - sec²θ) d(secθ)
= (1/5)sec⁵θ - (1/3)sec³θ + C
= (1/5)(1 + r²)^(5/2) - (1/3)(1 + r²)^(3/2) + C，进一步因式分解。
= (1/15)(3r² - 2)(1 + r²)^(3/2) + C

(1/2)∫R³√(1+R²) dR
换元法，令√(1+R²)=u，R²=u²-1，两边微分得：RdR=udu
=(1/2)∫R²√(1+R²) RdR
=(1/2)∫ (u²-1)u*udu
=(1/2)∫ (u⁴-u²) du
=(1/10)u⁵-(1/6)u³
=(1/10)(1+R²)^(5/2)-(1/6)(1+R²)^(3/2)+C

I=∫r³sqrt(1+r²)dr {r从0到√2}
令t= sqrt(1+r²) , 则r²=t²-1 , 两边微分得 rdr=tdt
且 r=0时,t=1 ; r=√2时,t=√3
那么I=∫r²sqrt(1+r²)*rdr {r从0到√2}
=∫(t²-1)t*tdt {t从1到√3}
=∫(t^4-t^2) dt {t从1到√3}
=(t^5)/5-(t^3)/3 {t从1到√3}
=(4√3)/5+2/15

简介
　　第一个用极坐标来确定平面
上点的位置的是牛顿。他的《流数
法与无穷级数》，大约于1671年写
成，出版于1736年。此书包括解析
几何的许多应用，例如按方程描出曲
线。书中创建之一，是引进新的坐标系。
17甚至18世纪的人，一般只用一根坐标
轴(x轴)，其y值是沿着与x轴成直角或斜
角的方向画出的。牛顿所引进的坐标之
一，是用一个固定点和通过此点的一条
直线作标准，例如我们现在的极坐标系
。牛顿还引进了双极坐标，其中每点的
位置决定于它到两个固定点的距离。由于
牛顿的这个工作直到1736年才为人们所发
现，而瑞士数学家J.贝努利于1691年在《
教师学报》上发表了一篇基本上是关于极
坐标的文章，所以通常认为J.贝努利是极坐
标的发现者。J.贝努利的学生J.赫尔曼在1
729年不仅正式宣布了极坐标的普遍可用，
而且自由地应用极坐标去研究曲线。他还
给出了从直角坐标到极坐标的变换公式。
确切地讲，J.赫尔曼把cosθ ,sinθ当作变量
来使用，而且用n和m来表示cosθ 和sinθ。
欧拉扩充了极坐标的使用范围，而且明确地
使用三角函数的记号；欧拉那个时候的极坐
标系实际上就是现代的极坐标系。极坐标系

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