已知函数f(x)=x^2+1 用定义证明f(x)在[0,正无穷)上是增函数

设f(x)=x²+1(1)证明f(x)是偶函数(2)用定义证明f(x)在[0,正无穷)上是增函数！~

（1）f(-x)=(-x)^2+1=x^2+1=f(x),因此f(x)是偶函数
（2）设x1>x2>0，则有
f(x1)-f(x2)=(x1)^2+1-(x2)^2-1=(x1+x2)(x1-x2)。有假设知该式>0,即有
x1>x2时，f(x1)>f(x2)，所以f（x）为增函数

解析：采用求导得f'(x)=2x+1/(x^2)
令f'(x)>0解得x>0

证明：
任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)
＝x1²＋1－(x2²＋1)
＝x1²－x2²
＝(x1＋x2)(x1－x2)
∵x1，x2∈[0，＋∞)，x1＜x2
∴x1＋x2＞0，x1－x2＜0
∴(x1＋x2)(x1－x2)＜0
∴f(x1)－f(x2)＜0
即f(x1)＜f(x2)
∴f(x)在[0，＋∞)上是增函数．

所谓定义法，是证明函数单调性的一种常用方法
其步骤如下：
①任取两个值
②作差
③变形(如因式分解、配方、分母有理化．．．)
④定号
⑤下结论(注意注明在哪个区间上)

希望可以帮到你~

这样吧，我们知道f(x)=x^2是二次函数对吧，画出它的图像，过原点开口向上！
然后左加右减，所以f(x)=x^2+1是f(x)=x^2向左平移一个单位得到的，根据图像，我们就可以判断出f(x)在[0,正无穷)上是增函数，这就是定义证明了，运用了数形结合法！

任意0<x1<x2
f（x1）-f（x2）=x1^2-x2^2<0
所以是增函数。
定义证明就是课本上定义的时候出现的

设x1,x2,x1<x2,f(x2)-f(x1)=(x2-x1)(x2+x1)>0则f(x)在[0,正无穷)上是增函数

任取x1，x2属于[0,正无穷)且x1小于x2
f（x1）-f（x2）=x1^2+1-x2^2-1
=x1^2-x2^2
x1小于x2
所以x1^2小于x2^2
所以x1^2-x2^2
所以f（x1）小于f（x2）
所以f(x)在[0,正无穷)上是增函数

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已知函数f(x)=x^2+1 用定义证明f(x)在[0,正无穷)上是增函数视频