设0<x1<4,xn+1=√xn(4-xn),证明极限limxn存在,并求此极限

设0<X1<3,X(n+1)=√[Xn(3-Xn)] (n=1,2......) 证明{Xn}的极限存在，并求此极限~

证明：因为0<x1<3所以x(n+1)<=[xn+(3-xn)]/2=3/2
所以｛xn}有界
又x(n+1)=√[Xn(3-Xn)] >=√[Xn(3-3/2)] =√(3/2)xn>=xn
所以{xn}递增
单调有界数列必有极限，设x=limxn=limx(n+1),则
x=√x(3-x)解得x=3/2
所以limxn=3/2
由来
与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的大脑抽象思维的产物。极限的思想可以追溯到古代，例如，祖国刘徽的割圆术就是建立在直观图形研究的基础上的一种原始的可靠的“不断靠近”的极限思想的应用。
到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中，改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。

limXn(n->正无穷)存在
设limXn(n->正无穷)=A
则limX(n-1)(n->正无穷)=A
Xn=根号2+X(n-1)
两端求极限得
A=√(2+A)>0
A^2=2+A
A^2-A-2=0
(A-2)(A+1)=0
A=2

先假设极限存在，设为x，则x=3+4/x，所以x=4，舍去x=-1。

由归纳法知x[n]>0。

进而x[n]>3(n>1)|x[n+1]-4|=|4/x[n]-1|。

=|4-x[n]|/|x[n]|1)。

所以lim(n→∞)|x[n]-4|=0即∫lim(n→∞)x[n]=4。

极限思想简介：

极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。

所谓极限的思想，是指“用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想”。

用极限思想解决问题的一般步骤可概括为。

对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量。

xn+1=√xn(4-xn)≤4/2=2。xn+1-xn=4xn-2xn²=2xn(2-xn)＞0。即证limxn=s存在,s²=s(4-s),得s=2。即证。有疑问请追问，满意请采纳~\(≧▽≦)/~

简单计算一下即可，答案如图所示

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设0<x1<4,xn+1=√xn(4-xn),证明极限limxn存在,并求此极限视频