高数问题 求极限 lim sin(x^2 * sin (1/x))/x x->0
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高数： lim( x ^2sin(1 /x)/tanx )求极限x趋于0 如果是不能用洛必达~
∴lim(x->0)[xsin(1/x)]=0..........(1)
∴lim(x->0)[x²sin(1/x)]=0..........(2)
∵lim(x->0){sin[x²sin(1/x)]/[x²sin(1/x)]}=lim(t->0)(sint/t) (令t=x²sin(1/x),由结果(2)得)
=1 (应用重要极限)...........(3)
故lim(x->0){sin[x²sin(1/x)]/x}=lim(x->0){【sin[x²sin(1/x)]/[x²sin(1/x)]】*【xsin(1/x)】}
=lim(x->0){sin[x²sin(1/x)]/[x²sin(1/x)]}*lim(x->0)[xsin(1/x)]
=1*lim(x->0)[xsin(1/x)] (由结果(3)得)
=1*0 (由结果(1)得)
=0
答案是0，x在0附近时，原式绝对值不大于sin(x^2)/x在0处的极限,而sin(x^2)/x^2在0处极限是1，结果可想而知。
0/0 型 分式上下各自求导
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相关评论：
lim (1/x)^tanx
根据等价无穷小简化成
lim (1/x)^x 【x→0+】
=lim 1/ x^x
对x^x取对数lnx^x,得xlnx,化成lnx / [1/x]
洛必达法则：
上下求导,分子1/x 分母-1/x^2
结果= -x
所以极限lnx^x= -x=0
那么x^x的极限就是e^0=1
所以lim (1/x)^tanx
=lim 1/ x^x
=1
扩展资料：极限性质：
1、唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。
2、有界性：如果一个数列’收敛‘（有极限），那么这个数列一定有界。
但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。例如数列 ：“1，-1，1，-1，……，(-1)n+1”
3、保号性：若
（或0，使n>N时有
（相应的xn<m）。
4、保不等式性：设数列{xn} 与{yn}均收敛。若存在正数N ，使得当n>N时有xn≥yn。
5、和实数运算的相容性：譬如：如果两个数列{xn} ，{yn} 都收敛，那么数列{xn+yn}也收敛，而且它的极限等于{xn} 的极限和{yn} 的极限的和。
6、与子列的关系：数列{xn} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列{xn} 收敛的充要条件是：数列{xn} 的任何非平凡子列都收敛。
∴lim(x->0)[xsin(1/x)]=0..........(1)
∴lim(x->0)[x²sin(1/x)]=0..........(2)
∵lim(x->0){sin[x²sin(1/x)]/[x²sin(1/x)]}=lim(t->0)(sint/t) (令t=x²sin(1/x),由结果(2)得)
=1 (应用重要极限)...........(3)
故lim(x->0){sin[x²sin(1/x)]/x}=lim(x->0){【sin[x²sin(1/x)]/[x²sin(1/x)]】*【xsin(1/x)】}
=lim(x->0){sin[x²sin(1/x)]/[x²sin(1/x)]}*lim(x->0)[xsin(1/x)]
=1*lim(x->0)[xsin(1/x)] (由结果(3)得)
=1*0 (由结果(1)得)
=0
利用等价无穷小以及有界量×无穷小=无穷小
答案是0，x在0附近时，原式绝对值不大于sin(x^2)/x在0处的极限,而sin(x^2)/x^2在0处极限是1，结果可想而知。
慢慢看。。。
0/0 型 分式上下各自求导
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