高数，求极限

求高数中的极限值~

不存在；当x→3+时，原极限=1；当x→3-时，原极限=-1；
根据定理：极限若存在，必唯一；
左极限≠右极限，所以极限不存在；

等于3，这个用夹逼定理，刚才已经有人问过类似的了，人家是括号内多加一个4的n次方，而答案是4，可见这里面是有规律的。
一方面，如果把括号里的前两项去掉，那么原式就会大于3。
另一方面，如果把括号里的前面项都变成第三项，那么式子会变大成3的(n+1)次方的n分之一次方，这个式子的极限等于3。
也就是说，原式在3和一个极限为3的式子之间，那么原式的极限就是3.

解：
根据等价无穷小：
√(1+x) - 1 ～x/2
原极限
=lim(x→0) ∫(sin²x,0) ln(1+t)dt / [(x^4)/2]
考查函数y=ln(1+t)在[0,sin²x]上的积分，显然满足积分中值定理，因此：
∫(sin²x,0) ln(1+t)
=ln(1+ε)·(sin²x-0)
=sin²xln(1+ε)
其中：ε∈[0,sin²x]
因此：
原极限
=lim(x→0) sin²xln(1+ε) / [(x^4)/2]
根据等价无穷小：
sinx ～x
ln(1+x) ～x
又∵当x→0时，区间[0,sin²x]趋近于0，ε和sin²x同等趋近于零，因此：
ε ～sin²x
于是：
原极限
=lim(x→0) x²·ε/[(x^4)/2]
=lim(x→0) x²·x²/[(x^4)/2]
=2

本题也可以用罗比达法则，分子用变限积分求导！
原极限
=lim(x→0) ln(1+sin²x)·2sinxcosx / 2x³
=lim(x→0) x²·2·2x// 2x³
=2

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