大一高数求解答！！谢谢 证明：若X1=a>0,Xn+1=1/2(Xn+2/Xn),n=1,2,......,则数列{Xn}收敛，并求其极限
令f(x)=2+1/x, 显然f(x)单调减少。
X1=2=20/10
X2=2+1/2=5/2=25/10
X3=2+1/5/2=2+2/5=24/10
……
递推下去有
X1<X3<X5<……<X2n-1<……<X2n<……<X4<X2
即奇数列增加，偶数列减少。奇数列的上限为X2=5/2，偶数列的下限X1=2，两者都收敛。
下边可以分别令奇偶列的极限为P、Q，limX2n-1=P,limX2n=Q。（n->∞）
令G(X)=f(f(Xn))，G(Xn)必定单调增加，则Xn+2=f(Xn+1)=f(f(Xn))=G(Xn)，由G(Xn) 的连续性可以知道
limXn+2=limG(Xn)=G(limXn)，在n分别为奇数或偶数时，
P=G(P)=f(f(P))=(5P+2)/(2P+1)，Q=G(Q)=f(f(Q))=(5Q+2)/(2Q+1)，
据方程x=(5x+2)/(2x+1)，即x^2-2x-1=0只有正解，x=1+√2=2.414。所以P=Q=2.414，也就是奇数列和偶数列的极限都是2.414，故此整个数列{Xn}收敛。收敛于2.414。
同样的我们可以得到这样两个关于极限的结论
1、当X3落在以X1、X2构成的区间之外时，数列{Xn}发散。
2、当X3落在以X1、X2构成的区间之内时，数列{X2n-1}和{X2n}均收敛，当两者收敛值相同时，数列{Xn}收敛。
不动点法。令f（x）=（1/2）[x+（1/x）]，x＞0
f'（x）=（1/2）（x²-1）/x²，可知当x＞1时f'（x）＞0，f（x）为增函数
令f（x）＞x，即（1/2）[x+（1/x）]＞x，得0＜x＜1，可知不动点为x=1，x＞1时f（x）＜x
x1=2＞1，于是f（1）＜f（x1）＜x1，
得1＜x2＜x1，同理f（1）＜f（x2）＜x2，即1＜x3＜x2
于是可得1＜x（n+1）＜xn，得xn递减且有下限，即{xn}收敛。于是xn极限存在
令A为xn极限
有A=（1/2）[A+（1/A）]且A≥1
得A=1
Xn+1-Xn=1/2(2/Xn-Xn)，Xn≥√2，n＞1，单调递减
∴Xn+1-Xn≤1/2(2/√2-√2)=0，n＞1，
∴数列{Xn}单调递减有下界
∴数列{Xn}收敛。
limXn+1=lim1/2(Xn+2/Xn)
设limXn=A
则，A=1/2(A+2/A)
∴A=√2
Xn+1=1/2(Xn+2/Xn)≥1/2*2√2=√2
Xn+1/Xn=1/2(1+2/Xn²)≤ 1
所以{Xn}单调递减
又X1=a，所以{Xn}有界
所以收敛
设极限为x
则x=1/2(x+2/x)
x=√2
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