x→x。时 limf(x)=f(x。)=无穷大,f(x)在x。处连续吗

x→∞，lim f(x)=A 证明存在正数X 使得f(x)在(-∞,-X)∪(x,+无穷大)有界~

根据极限的定义，对任意ε>0, 存在X>0，使得当 |x|>X时有 |f(x)-A|<ε
现在就令ε=1， 则存在X>0, 使得当 |x|>X时，有 |f(x)-A|<ε=1
所以 |f(x)|=|f(x)-A +A| <= |f(x)-A|+|A|<1+|A|
即当 |x|>X时，f(x)有界
亦即 结论成立

不是f(x)=0 , 而是f(0)=0
x趋近于0的时候， f(x)/x的分母趋近于0， 如果f(x)不趋近于零， 则f(x)/x趋近于无穷了（正或者负无穷），就不存在了。所以当x趋近于0的时候，f(x)也要趋近于零，又因为f(x)在x=0处连续， 所以f(0)=0

扩展资料：
无穷小量：
若x→0时，limf(X)=0，则称f(X)是当x→0时的无穷小量，简称无穷小。

无穷小量就是极限为零的量。确切地说，当自变量x无限接近x0(或x的绝对值无限增大)时，函数值f(x)与零无限接近，即limf(x)=0，则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量。
例如，f(x)=(x－1)2是当x→1时的无穷小量，f(x)= 1/n是当n→∞时的无穷小量，f(x)=sinx是当x→0时的无穷小量（注意：特别小的数和无穷小量不同）。
参考资料来源：百度百科—同阶无穷小

不连续
x→x。时 limf(x)=f(x。)=∞
说明为发散
极限不存在
所以f(x)在x。处不连续

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