初三数学竞赛题，题目如下，急求

初三数学竞赛题~

1题： 将原等式化为 b²-ab+1/2a+2=0

因为b是实数，所以根的判别式△≥0

即a²-2a-8≥0 十字相乘得(a-4)(a+2)≥0

所以解得 a≥4 或 a≤-2


3题，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F．（图自己画）
由已知可得
BE=AE=根号6 ，CF＝2倍根号2 ，DF＝2倍根号6 ，
于是 EF＝4＋根号6 ．
过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据勾股定理得
AD ＝ 2+2倍根号6

3题
x1=1 x2=2 x3=3 x4=4
x5=1 x6=2 x7=3 x8=4
所以2010=4*502+2 所以x2010=2


4题
设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为a,b,c （千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得
10（a-b）=S 15(a-c)=2S x(b-c)=S
由3个式子可得，x=30． 所以t=15 （分）

解：
1、已知n是正整数，且2n+1与3n+1都是完全平方数，得：
n=40,
5n+3=5*40+3=203
因为203=29*7，不是是质数。
所以不存在这样的数n; ##
2、设m为整数，且关于x的方程mx^2+2（m-5）x+m-4=0有整数根，则m的值为 （m=-18）
==>delta:=[2（m-5）]^2-4m(m-4)=100-24m
原式的解：x=[-2（m-5)±√(100-24m)]/2m
=-1+[5±√(25-6m)]/m
=-1+{5±√[5^2+(-6m)]}/m
要使√[5^2+(-6m)]}为整数，
==>必须使5^2+(-6m)为完全平方数
==>由勾股数5--12---13，得
-6m=12^2=144
m=-18;
==> x=-1+{5±√[5^2+(-6*-18)]}/(-18)
=-1+{5 ±√[5^2+12^]}/(-18)
=-1+(5± 13)/(-18)
有一个整数根：=-1+(5+13)/(-18)=-2；
3、如果对于不小于8的自然数n，当3n+1是一个完全平方数时，n+1都能表示成k个完全平方数的和，那么k的最小值为（ 1 ）
A、1 B、2 C、3 D、4
解：
当3n+1是一个完全平方数时, n+1都能表示成k个完全平方数的和,
不小于8的自然数n,取n=8，有：
3*8+1=25是完全平方数；
n+1=8+1=9;
9=3^2=2^2+2^+1^2;
所以最小的K=1;
4、若m^2=n+2,n^2=m+2(m不等于n)，则m^3-2mn+n^3的值为（ 0 ）
A、1 B、0 C、-1 D、-2
解：m^2=n+2,n^2=m+2，两式相减：得（m^2-n^2)=-(m-n)==>m+n=-1;
m^2=n+2,n^2=m+2，两式相加：得（m^2+n^2)=(m+n)+4==>m^2+n^2=3;
因为：m+n=-1==>（m+n）^2=(-1)^2
==> m^2+n^2+2mn=1
==> mn=[1-(m^2+n^2)]/2=(1-3)/2=-1;
m+n=-1==>（m+n）^3=(-1)^3
==> m^3+n^3+3mn(m+n)=-1
==> m^3+n^3=1-3mn(m+n)=1-3*(-1)(-1)=-2;
所以：m^3-2mn+n^3=-2-2*（-1）=0； ##
5、设N=23x+92y为完全平方数，且N不超过2392，则满足上述条件的一切正整数对（x，y）共有_2115_对。
解：因为 N=23x+92y,
==>y=-x/4+N/92
因为N不超过2392
所以N/92<=2392/92=26;
经过比较N/92可能的取值范围（26，25，24，23，22…,3,2,1），仅当N/92=23时，有: N/92=23
==>N=2116=46*46,为完全平方数。
==>y=-X/4+2116
即求直线y=-X/4+2116上的正整数解（X、Y）。
==>其正整数的通解： (X=4K，Y=2116-K)，其中（k为自然数，K=1，2，3，，n）
要使Y=2116-k为正整数，
==>则必须Y=2116-k>0;
==>K<2116;即K=2115 ;
所以共有2115对正整数（X、Y）；##
6、在平面直角坐标系xOy中，我们把横坐标为整数、纵坐标为完全平方数的点称为“好点”，求二次函数y=（x-90）^2-4907的图像上所有“好点”的坐标。
（题目“y=（x-90）^2-4907”的“4907”是否打错了，仔细看看，在修改！！！）
7、已知方程x^2-6x-4n^2-32n=0的根都是整数，求整数n的值。
解：==>delta:=6^2-4(-4n^2-32n)=36+4(4n^2+32n)
原式的解：x=6±√[36+4(4n^2+32n)]/2
=3±√(4n^2+32n+9)
要使x为整数，
==>必须使4n^2+32n+9为完全平方数
==>得:取4n^2+32n+9=（1，4，9，16，25，36，49，64，…,n^2）
4n^2+32n+9=9
==>n=0; ##
8、若D、E、F分别为△ABC的BC、CA、AB上的一点，且BD：DC=1，CE：EA=2，AF：FB=3，S△ABC=24，求△DEF的面积。
解：

（1）求S3
△ABC、△AFC与△BFC以AB为底边，过C点，有相同高，设为H,
所以有：AB*H= S△ABC;
FB*H= S△BFC;
两式相除得：S△BFC=FB/AB* S△ABC;
因为AF ：FB=3; ==>AB：FB=4;
所以：S△BFC=FB/AB* S△ABC=1/4*24=6;
在△BFC中，D是BC的中点，所以：
S3与S△DFC面积相等，==> S3= S△BFC/2=6/2=3;

(2）求S2,S1
△ABC、△ABE与△BEC以AC为底边，过B点，有相同高，设为Hb,
所以有：AC*Hb= S△ABC; ---(*)
AE*Hb= S△ABE; ---(**)
EC*Hb= S△BEC; ---(***)
(*)与(**)两式相除得：S△ABE=AE/AC* S△ABC;
(*)与(***)两式相除得：S△BEC=CE/AC* S△ABC;
因为CE:AE =2; ==>AE：AC=1/3;
==>CE：AC=2/3;
所以：S△ABE=AE/AC* S△ABC=1/3*24=8;
S△BEC=CE/AC* S△ABC=2/3*24=16;
在△ABE中，F是AB的(3:1)点，所以：（同理用高相等，底边不同来求解）
S2与S△DFC面积之比=底边之比=AF/FB=3:1
==> S2与 S△ABE之比=3/4;
==> S2= S△ABE*3/4=8*3/4=6;
同理S1= S△BEC*1/2=16*1/2=8;
所以S△DEF=S△ABC-S1-S2-S3=24-8-6-3=7; ##


9、设a^2+1=3a,b^2+1=3b,且a≠b，则代数式(1/a^2)+(1/b^2)的值为（ B=7 ）
A、5 B、7 C、9 D11
解：a^2+1=3a,b^2+1=3b相减
==>a^2-b^2=3(a-b)
==>(a-b)(a+b)=3(a-b), 且a≠b，
==>a+b=3 (1)
a^2+1=3a,b^2+1=3b相加
==>a^2+b^2+2=3(a+b)
==>a^2+b^2=3*3-2=7; (2)
因为（1）a+b=3
==>（a+b）^2=3^2=9
==>a^2+b^2+2ab=9;
==> 2ab=9-( a^2+b^2)=9-7=2;
==> ab=1;;
所以(1/a^2)+(1/b^2)=（a^2+b^2）/( ab)^2=7/1=7; ##

(1)、如图，M为AC中点，三角形ABC和ADC为直角三角形

   所以BM=DM

    又N为BD中点

  所以MN垂直于BD(等腰三角形中线、顶角平分线、底边上的高三线合一)

(2)、因为角BAC=30 °，角CAD=45°

        而三角形ABM和ADM均为等腰三角形

       所以角MBD+角MBM=180 °-2*(30 °+45 °)=30 °

       又BM=DM，则角MBD=15 °

      又因为BM=1/2AC=2(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)

      所以MN=BM*sin15 °=(根号6-根号2)/2

(1)、如图，M为AC中点，三角形ABC和ADC为直角三角形
所以BM=DM
又N为BD中点
所以MN垂直于BD(等腰三角形中线、顶角平分线、底边上的高三线合一)
(2)、因为角BAC=30 °，角CAD=45°
而三角形ABM和ADM均为等腰三角形
所以角MBD+角MBM=180 °-2*(30 °+45 °)=30 °
又BM=DM，则角MBD=15 °
又因为BM=1/2AC=2(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
所以MN=BM*sin15 °=(根号6-根号2)/2
望采纳！

看不清

能给一下图么 有图么？

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