如何从整体角度进行高中数学教学

与奇偶性有关问题要善于从哪些角度思考~

从整体角度进行数学教学的几点思考



高中数学知识体系及其结构已经形成一个较为完整的系统，从高中数学教材改革的指导思想及其重点，便可看出在数学教学中应注重以问题引导数学知识产生的背景、过程、历史、思想及文化，最终落实到数学知识的应用这一重要环节。为此，在数学教学中教师要培养学生从数学的基本思想、基本方法、基本概念的理解与认识，以及对数学的基本态度等方面来形成对数学的总体认识，进而使学生对数学形成整体的认知结构。

要让学生对数学有一个整体的认知结构，提高学生数学能力、创新意识、理性精神并着眼于学生的终身发展，教师也就应该从系统和整体的角度来开展数学教学，以下笔者就此结合教学实践谈几点思考。

一、从整体的角度在数学知识形成过程中寻找联系

如果教师能够从整体数学知识的角度考虑，用联系的眼光来看问题，就会发现在数学基础知识的形成过程中往往隐含着丰富的教育价值，这正是培养学生的数学观念、提升学生的数学素质、形成学生数学整体认知结构的一条重要途径。

比如，高中数学新课标教材中“函数奇偶性定义”是这样呈现：先由学生熟悉的日常生活中对称现象与两个分别关于原点和y轴对称的函数图象引出函数奇偶性概念，再将它们的图象特征转化成代数特征f(－x)=f(x)与f(－x)=－f(x)，从而得到函数奇偶性的定义。这样体现了化“未知”为“已知”、化“形”为“数”和形数结合的数学思想方法，也符合学生由熟悉到陌生、由特殊到一般、由直观到抽象的认知规律。

针对这一过程我们还可以从整体的角度进行深入的思考，进一步从如何激发学生的认知需求提出这样的问题：为什么要研究函数的奇偶性？为什么要学习函数奇偶性的定义？如何体现高中数学新课标倡导的自主探索、动手实践、合作交流的学习方式？因此，教师可以在日常生活中的对称现象的基础上，让学生观察他们熟悉的正比例函数f(x)=kx(k≠0)、反比例函数f(x)=(x≠0)、缺一次项的二次函数f(x)=ax+c(a≠0)的图象，学生会发现这些函数的图象具有关于原点对称或关于y轴对称共同的特征。教师进而提出问题：具有这种对称性的函数图象有什么优点？（以激发学生思考的兴趣）由此引导学生分析讨论可以得到：这些函数图象不仅具有形态对称的美，而且知道它在原点或y轴的一侧的图象就可以画出它另一侧的图象。

在介绍了函数奇偶性图象特征后，教师可以先让学生判断以下一些函数的奇偶性：①f(x)=x，x∈[0，+∞)；②f(x)=x；③f(x)=x+2x+；④f(x)=.对于①的函数图象，学生容易作答；对于②的函数图象，学生利用描点法也不难画出图象后作答；对于③、④的函数图象，学生会感到难以画出。由此可以说明利用函数的图象特征判断函数的奇偶性有其局限性，即使有的函数图象能够画出，但还会存在准确性和视觉的可靠性等问题。由此可以使学生产生认知冲突，从而激发学生在“形”转化为“数”、直观转化为抽象、感性转化为理性等认知方面的需求，这样进一步去探讨函数奇偶性定义就更符合学生学习的心理需求。

通过上述过程可以把函数相关的新旧知识有机地联系起来，一方面激发了学生认知需求，另一方面强化了学生对函数奇偶性的直观认识，同时为函数奇偶性定义形成作了铺垫，从而使学生能够自然地掌握用图象法和定义法来判断函数的奇偶性。这样一来就可以从整体的角度揭示和研究函数的奇偶性，也能够使学生对函数的奇偶性形成一个完整的认知结构。

二、从整体的角度在数学解题教学中寻找联系

从广义的数学知识角度来看，数学的思想方法是在一定范围内具有普遍性、隐性的知识，是数学知识的精髓和灵魂，是学生形成良好数学认知结构的纽带，是知识形成能力的关键。教师在数学解题教学中，要注重其中所蕴含的数学思想方法，在探讨数学题型及其解法过程中引导学生从整体的角度寻求数学知识间的联系，从而通过解题教学使学生形成良好的数学认知结构，提高数学能力。

例如，已知函数y=+的最大值为M，最小值为m，则的值为（ ）

A. B. C. D.

在解此题的教学中，若教师仅直接讲述其解法一为：先将函数式两边平方，得到y=4+(-3≤x≤1)后转化为求二次函数在给定区间上的最值；解法二为：由-3≤x≤1得0≤x+3≤4，设x+3=4cosβ(β∈[0，90 ])，转化为求三角函数的最值；解法三为：令u=，v=，则u+v=4(u≥0， v≥0)，u+v=y，再用解析法求最值。这样似乎问题很容易就被解决了，但学生的反应仍是很茫然，感到困惑的地方是老师怎么会想到这样做。为了避免出现这种现象，教师在解题教学中要重视引导学生在数学知识与数学思想方法之间，从整体的角度探讨其联系，揭示数学知识的本质，使学生的数学认知结构得到优化与完善。

为此，教师要进一步揭示上述解题过程中所体现出的化无理式为有理式、化未知为已知的这种数学化归思想和数形结合思想，使学生领悟解法的本质所在。同时教师还可以从整体的角度，用联系的眼光看问题，引导学生对上述问题进一步探究。比如，可以启发学生联想到借助函数的导数，从而得出函数的单调性来求最值；如果仅是求此函数的最大值，还可以启发学生借助柯西不等式等。教师还可以进一步提出以下变式问题让学生思考：（1）、如果把函数改为y=+或y=+时，如何求解呢？（可直接利用其单调性求解）；（2）、如果把函数改为y=1-x+或y=x+1+时，如何求解呢？（前者可设t=≥0，转化为关于t的二次函数；后者可直接利用其单调性求解）等等，这样便可以把求一次无理函数的最值的方法有机地联系成一个整体。

三、从整体的角度在数学探究过程中寻找联系

高中数学新课改倡导培养学生的探究意识和理性精神，为此在数学教学中，教师可以引导学生对数学学习中感到困惑的问题进行探究。在探究过程中，教师可以指导学生从整体的角度去注意寻找知识间的联系，这样可以丰富学生的认知结构，为形成新的知识网络创造条件。

比如，高中数学中随机变量的方差概念是初中数学中一组数据的方差概念的拓展，是刻画随机变量（一组数据）与数学期望（一组数据的平均数）离散程度的量。在此教学中，可以让学生探究为什么将一组数据x，x，…，x 的方差定义为而不是呢？其探究思路可以如下：设f(x)= ，当x==时，f(x)= ；又设g(x)= ，可以证明当①n为奇数时，x为数据x，x，…，x的中位数，②当n为偶数时，x时，都有g(x)取最小值。所以，用来刻画数据x，x，…，x与平均数的离散程度最佳，用来刻画数据x，x，…，x与其中位数x的离散程度最佳。在探究过程中，教师可以适当的把数学史上著名的最小二乘法与最小一乘法这一统计学背景给学生介绍一下，以丰富学生的数学知识和提高探究的兴趣。

探究之后，可以让学生完成以下练习：（1）、函数f(x)=最小值为（ ） A.190 B.171 C.90 D.45

（2）、在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到x，x，…，x共n个数据。我们规定的所测物理量的“最佳近似值”x是这样一个量：与其它近似值比较，与各数据差的平方和最小，以此规定，从x，x，…，x推出x=_______。

学生在上述探究的基础上，就能把看似没有关联的知识有机地联系起来，很容易得到：（1）题中x=10(1，2，…，19的中位数)时，f(x)=90；（2）题中x=（x+x+…+x）（即数据x，x，…，x的平均数）。

通过上述探究过程，从整体的角度角度联系了函数最值知识与误差理论，深化了学生对方差概念的理解，拓宽了学生的视野，培养学生的理性精神，使学生学会用联系的眼光看问题，从整体的角度认识数学概念。这样学生对数学知识的理解便是深刻的，通过知识的正迁移获得数学知识本质上的东西。

四、从整体的角度在数学与数学外部之间寻找联系

曾有数学教育家认为，数学与其外部的联系对学生来说是更自然和更重要的。数学与其外部的联系是极为广泛的，主要包括数学与其它学科间的联系和数学与现实生活间的联系。高中数学新课程也倡导要加强数学与其它学科及生活实际的沟通和联系，使学生从中体会数学的价值和作用。

在数学教学过程中，教师可以从整体的角度指导学生学会用数学的思维方式去思考、解决生活实际中的问题，同时能够用生活实际中的现象来诠释数学问题，让学生体会到数学知识与现实生活的相同性，由此培养学生的联想意识和习惯，培养学生的创新意识和创造能力。

比如，在进行高中数学概率教学时，可以从整体的角度在概率知识与生活实际之间寻找联系，创设问题情境，从而这样引入新课：

教师：在经济比较发达和文明程度较高的某些大城市的街头，经常有人在摆摊算卦，前来问卦的人有普通百姓，也有知识分子。请同学们想一想是什么原因？

学生：众说纷纭。

教师：我认为是它满足了人们对预测未来的一种心理渴求，尽管许多人明知问卦是不科学的。

教师：我们还经常会听到人们常说某件事发生的可能性较大，那么我们就会想这种事件发生的可能性到底有多大？如何来体现和刻画这种可能性呢？

学生：如何能够用具体数字来反映和刻事件发生可能性的大小就好了，因为数据能够很好的说明问题。

教师：人们通常习惯用数字来说明问题，也就是对问题进行定量分析，但可能会有较大的难度。但有一种数学知识就可以用数字特征来科学地体现这种可能性大小，那就是概率。

通过这样引导学生思考，培养学生形成在数学与其它学科间、在数学与现实生活间进行联系思考的意识，并形成一种自然的习惯。

总之，在教学过程中要尽可能地从整体的角度出发去思考教学设计，让学生从整体的角度去认识和学习数学，而不要孤立地看待数学知识，人为地把数学知识割裂开来。从整体的高度来看待和认识数学，使学生把数学知识有机地联系起来，让学生的数学认知结构不断趋于完善，从而提高学生的数学能力和素质。

参考文献：

①宁连华.数学探究教学设计研究[J].数学教育学报，2006，15（4）.

②潘小明.数学探究教学中异化现象探析[J].数学教育学报，2008，17（2）.

③中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003.

④唐锐光.一道高考题新解法引发的命题[J].中学数学杂志（高中版），2008，11

包含关系，即部分包含于整体之中，就像正方形与长方形的关系一样。

从整体角度进行数学教学的几点思考

高中数学知识体系及其结构已经形成一个较为完整的系统，从高中数学教材改革的指导思想及其重点，便可看出在数学教学中应注重以问题引导数学知识产生的背景、过程、历史、思想及文化，最终落实到数学知识的应用这一重要环节。为此，在数学教学中教师要培养学生从数学的基本思想、基本方法、基本概念的理解与认识，以及对数学的基本态度等方面来形成对数学的总体认识，进而使学生对数学形成整体的认知结构。

要让学生对数学有一个整体的认知结构，提高学生数学能力、创新意识、理性精神并着眼于学生的终身发展，教师也就应该从系统和整体的角度来开展数学教学，以下笔者就此结合教学实践谈几点思考。

一、从整体的角度在数学知识形成过程中寻找联系

如果教师能够从整体数学知识的角度考虑，用联系的眼光来看问题，就会发现在数学基础知识的形成过程中往往隐含着丰富的教育价值，这正是培养学生的数学观念、提升学生的数学素质、形成学生数学整体认知结构的一条重要途径。

比如，高中数学新课标教材中“函数奇偶性定义”是这样呈现：先由学生熟悉的日常生活中对称现象与两个分别关于原点和y轴对称的函数图象引出函数奇偶性概念，再将它们的图象特征转化成代数特征f(－x)=f(x)与f(－x)=－f(x)，从而得到函数奇偶性的定义。这样体现了化“未知”为“已知”、化“形”为“数”和形数结合的数学思想方法，也符合学生由熟悉到陌生、由特殊到一般、由直观到抽象的认知规律。

针对这一过程我们还可以从整体的角度进行深入的思考，进一步从如何激发学生的认知需求提出这样的问题：为什么要研究函数的奇偶性？为什么要学习函数奇偶性的定义？如何体现高中数学新课标倡导的自主探索、动手实践、合作交流的学习方式？因此，教师可以在日常生活中的对称现象的基础上，让学生观察他们熟悉的正比例函数f(x)=kx(k≠0)、反比例函数f(x)=(x≠0)、缺一次项的二次函数f(x)=ax+c(a≠0)的图象，学生会发现这些函数的图象具有关于原点对称或关于y轴对称共同的特征。教师进而提出问题：具有这种对称性的函数图象有什么优点？（以激发学生思考的兴趣）由此引导学生分析讨论可以得到：这些函数图象不仅具有形态对称的美，而且知道它在原点或y轴的一侧的图象就可以画出它另一侧的图象。

在介绍了函数奇偶性图象特征后，教师可以先让学生判断以下一些函数的奇偶性：①f(x)=x，x∈[0，+∞)；②f(x)=x；③f(x)=x+2x+；④f(x)=.对于①的函数图象，学生容易作答；对于②的函数图象，学生利用描点法也不难画出图象后作答；对于③、④的函数图象，学生会感到难以画出。由此可以说明利用函数的图象特征判断函数的奇偶性有其局限性，即使有的函数图象能够画出，但还会存在准确性和视觉的可靠性等问题。由此可以使学生产生认知冲突，从而激发学生在“形”转化为“数”、直观转化为抽象、感性转化为理性等认知方面的需求，这样进一步去探讨函数奇偶性定义就更符合学生学习的心理需求。

通过上述过程可以把函数相关的新旧知识有机地联系起来，一方面激发了学生认知需求，另一方面强化了学生对函数奇偶性的直观认识，同时为函数奇偶性定义形成作了铺垫，从而使学生能够自然地掌握用图象法和定义法来判断函数的奇偶性。这样一来就可以从整体的角度揭示和研究函数的奇偶性，也能够使学生对函数的奇偶性形成一个完整的认知结构。

二、从整体的角度在数学解题教学中寻找联系

从广义的数学知识角度来看，数学的思想方法是在一定范围内具有普遍性、隐性的知识，是数学知识的精髓和灵魂，是学生形成良好数学认知结构的纽带，是知识形成能力的关键。教师在数学解题教学中，要注重其中所蕴含的数学思想方法，在探讨数学题型及其解法过程中引导学生从整体的角度寻求数学知识间的联系，从而通过解题教学使学生形成良好的数学认知结构，提高数学能力。

例如，已知函数y=+的最大值为M，最小值为m，则的值为（  ）

A.   B.  C.  D.

在解此题的教学中，若教师仅直接讲述其解法一为：先将函数式两边平方，得到y=4+(-3≤x≤1)后转化为求二次函数在给定区间上的最值；解法二为：由-3≤x≤1得0≤x+3≤4，设x+3=4cosβ(β∈[0，90 ])，转化为求三角函数的最值；解法三为：令u=，v=，则u+v=4(u≥0， v≥0)，u+v=y，再用解析法求最值。这样似乎问题很容易就被解决了，但学生的反应仍是很茫然，感到困惑的地方是老师怎么会想到这样做。为了避免出现这种现象，教师在解题教学中要重视引导学生在数学知识与数学思想方法之间，从整体的角度探讨其联系，揭示数学知识的本质，使学生的数学认知结构得到优化与完善。

为此，教师要进一步揭示上述解题过程中所体现出的化无理式为有理式、化未知为已知的这种数学化归思想和数形结合思想，使学生领悟解法的本质所在。同时教师还可以从整体的角度，用联系的眼光看问题，引导学生对上述问题进一步探究。比如，可以启发学生联想到借助函数的导数，从而得出函数的单调性来求最值；如果仅是求此函数的最大值，还可以启发学生借助柯西不等式等。教师还可以进一步提出以下变式问题让学生思考：（1）、如果把函数改为y=+或y=+时，如何求解呢？（可直接利用其单调性求解）；（2）、如果把函数改为y=1-x+或y=x+1+时，如何求解呢？（前者可设t=≥0，转化为关于t的二次函数；后者可直接利用其单调性求解）等等，这样便可以把求一次无理函数的最值的方法有机地联系成一个整体。

三、从整体的角度在数学探究过程中寻找联系

高中数学新课改倡导培养学生的探究意识和理性精神，为此在数学教学中，教师可以引导学生对数学学习中感到困惑的问题进行探究。在探究过程中，教师可以指导学生从整体的角度去注意寻找知识间的联系，这样可以丰富学生的认知结构，为形成新的知识网络创造条件。

比如，高中数学中随机变量的方差概念是初中数学中一组数据的方差概念的拓展，是刻画随机变量（一组数据）与数学期望（一组数据的平均数）离散程度的量。在此教学中，可以让学生探究为什么将一组数据x，x，…，x 的方差定义为而不是呢？其探究思路可以如下：设f(x)= ，当x==时，f(x)= ；又设g(x)= ，可以证明当①n为奇数时，x为数据x，x，…，x的中位数，②当n为偶数时，x时，都有g(x)取最小值。所以，用来刻画数据x，x，…，x与平均数的离散程度最佳，用来刻画数据x，x，…，x与其中位数x的离散程度最佳。在探究过程中，教师可以适当的把数学史上著名的最小二乘法与最小一乘法这一统计学背景给学生介绍一下，以丰富学生的数学知识和提高探究的兴趣。

探究之后，可以让学生完成以下练习：（1）、函数f(x)=最小值为（  ）  A.190  B.171  C.90  D.45

（2）、在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到x，x，…，x共n个数据。我们规定的所测物理量的“最佳近似值”x是这样一个量：与其它近似值比较，与各数据差的平方和最小，以此规定，从x，x，…，x推出x=_______。

学生在上述探究的基础上，就能把看似没有关联的知识有机地联系起来，很容易得到：（1）题中x=10(1，2，…，19的中位数)时，f(x)=90；（2）题中x=（x+x+…+x）（即数据x，x，…，x的平均数）。

通过上述探究过程，从整体的角度角度联系了函数最值知识与误差理论，深化了学生对方差概念的理解，拓宽了学生的视野，培养学生的理性精神，使学生学会用联系的眼光看问题，从整体的角度认识数学概念。这样学生对数学知识的理解便是深刻的，通过知识的正迁移获得数学知识本质上的东西。

四、从整体的角度在数学与数学外部之间寻找联系

曾有数学教育家认为，数学与其外部的联系对学生来说是更自然和更重要的。数学与其外部的联系是极为广泛的，主要包括数学与其它学科间的联系和数学与现实生活间的联系。高中数学新课程也倡导要加强数学与其它学科及生活实际的沟通和联系，使学生从中体会数学的价值和作用。

在数学教学过程中，教师可以从整体的角度指导学生学会用数学的思维方式去思考、解决生活实际中的问题，同时能够用生活实际中的现象来诠释数学问题，让学生体会到数学知识与现实生活的相同性，由此培养学生的联想意识和习惯，培养学生的创新意识和创造能力。

比如，在进行高中数学概率教学时，可以从整体的角度在概率知识与生活实际之间寻找联系，创设问题情境，从而这样引入新课：

教师：在经济比较发达和文明程度较高的某些大城市的街头，经常有人在摆摊算卦，前来问卦的人有普通百姓，也有知识分子。请同学们想一想是什么原因？

学生：众说纷纭。

教师：我认为是它满足了人们对预测未来的一种心理渴求，尽管许多人明知问卦是不科学的。

教师：我们还经常会听到人们常说某件事发生的可能性较大，那么我们就会想这种事件发生的可能性到底有多大？如何来体现和刻画这种可能性呢？

学生：如何能够用具体数字来反映和刻事件发生可能性的大小就好了，因为数据能够很好的说明问题。

教师：人们通常习惯用数字来说明问题，也就是对问题进行定量分析，但可能会有较大的难度。但有一种数学知识就可以用数字特征来科学地体现这种可能性大小，那就是概率。

通过这样引导学生思考，培养学生形成在数学与其它学科间、在数学与现实生活间进行联系思考的意识，并形成一种自然的习惯。

总之，在教学过程中要尽可能地从整体的角度出发去思考教学设计，让学生从整体的角度去认识和学习数学，而不要孤立地看待数学知识，人为地把数学知识割裂开来。从整体的高度来看待和认识数学，使学生把数学知识有机地联系起来，让学生的数学认知结构不断趋于完善，从而提高学生的数学能力和素质。

参考文献：

①宁连华.数学探究教学设计研究[J].数学教育学报，2006，15（4）.

②潘小明.数学探究教学中异化现象探析[J].数学教育学报，2008，17（2）.

③中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003.

④唐锐光.一道高考题新解法引发的命题[J].中学数学杂志（高中版），2008，11.

从生活应用能力上拓展 教育家陶行知提到过“依据生活而教育”的理论观点, 教育与生活是密不可分的在这一句话中被揭示出来，数学教育也应如此，数学教育的目的是掌握知识进而提高能力, 服务社会是其最终目的。教学过程要包括生活中常见的现象解释数学规律这一方式, 这样有助于数学走进每位同学的生活[2], 当数学理论与生活实践紧密地结合在一起时, 同学们就可以有意识地应用数学到生活中的各个细节当中去, 掌握所学知识也就变的相对容易, 在生活中就可以感悟到数学学习的价值。

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