万有引力公式怎么推导？

万有引力公式推导是什么?~

万有引力定律的推导以开普勒第三定律作为已知条件，开普勒第三定律r3 /T2=C(C是常数)，推导得F=GHMm/r2 。引力大小与它们质量的乘积成正比与它们距离的平方成反比，与两物体的化学组，成和其间介质种类无关。
开普勒第三定律r3 /T2=C (C是常数)，万有引力F，形式未知，但一定等于向心力F=mr (2π/T) 2，带入1/T2=C/r3，F=mr4π2* (C/r3) =C' *m/r2，因为引力的对称性F=C”*M/r2，所以，F=GMm/r2， G是常数。

万有引力定律发现的意义：
万有引力定律的发现，是17世纪自然科学最伟大的成果之一。 它把地面上物体运动的规律和天体运动的规律统一了 起来，对以后物理学和天文学的发展具有深远的影响。它第一次解释了(自然界中四种相互作用之一) 一种基本相互作用的规律，在人类认识自然的历史上树立了一座里程碑。
万有引力定律揭示了天体运动的规律，在天文学上和宇宙航行计算方面有着广泛的应用。它为实际的天文观测提供了一套计算方法，可以只凭少数观测资料，就能算出长周期运行的天体运动轨道，科学史上哈雷彗星、海王星、冥王星的发现，都是应用万有引力定律取得重大成就的例子。
利用万有引力公式，开普勒第三定律等还可以计算太阳、地球等无法直接测量的天体的质量。牛顿还解释了月亮和太阳的万有引力引起的潮汐现象。他依据万有引力定律和其他力学定律，对地球两极呈扁平形状的原因和地轴复杂的运动，也成功的做了说明。推翻了古代人类认为的神之引力。

万有引力是由于物体具有质量而在物体之间产生的一种相互作用。它的大小和物体的质量以及两个物体之间的距离有关。物体的质量越大，它们之间的万有引力就越大；物体之间的距离越远，它们之间的万有引力就越小。 　　两个可看作质点的物体之间的万有引力，可以用以下公式计算：F＝GmM/r^2,即 万有引力等于引力常量乘以两物体质量的乘积除以它们距离的平方。其中G代表引力常量，其值约为6.67×10的负11次方单位 N·m2 /kg2。为英国科学家 卡文迪许通过扭秤实验测得。 　　万有引力的推导：若将行星的轨道近似的看成圆形，从开普勒第二定律可得行星运动的角速度是一定的，即： 　　ω=2π/T(周期) 　　如果行星的质量是m，离太阳的距离是r，周期是T，那么由运动方程式可得，行星受到的力的作用大小为 　　mrω^2=mr（4π^2）/T^2 　　另外，由开普勒第三定律可得 　　r^3/T^2=常数k' 　　那么沿太阳方向的力为 　　mr（4π^2）/T^2=mk'（4π^2）/r^2 　　由作用力和反作用力的关系可知，太阳也受到以上相同大小的力。从太阳的角度看， 　　（太阳的质量M）（k''）（4π^2）/r^2 　　是太阳受到沿行星方向的力。因为是相同大小的力，由这两个式子比较可知，k'包含了太阳的质量M，k''包含了行星的质量m。由此可知，这两个力与两个天体质量的乘积成正比，它称为万有引力。 　　如果引入一个新的常数（称万有引力常数），再考虑太阳和行星的质量，以及先前得出的4·π2，那么可以表示为 　　万有引力=(GmM)/(r^2) 两个通常物体之间的万有引力极其微小，我们察觉不到它，可以不予考虑。比如，两个质量都是60千克的人，相距0.5米，他们之间的万有引力还不足百万分之一牛顿，而一只蚂蚁拖动细草梗的力竟是这个引力的1000倍！但是，天体系统中，由于天体的质量很大，万有引力就起着决定性的作用。在天体中质量还算很小的地球，对其他的物体的万有引力已经具有巨大的影响，它把人类、大气和所有地面物体束缚在地球上，它使月球和人造地球卫星绕地球旋转而不离去。 　　当在某星球表面作圆周运动时，可将万有引力看作重力，既有mg=(GmM)/(r^2) ，此时有GM=g(r^2)，为黄金代换公式。且有mrω^2=mr（4π^2）/T^2=mg。（此结论仅用于星球表面）

牛顿的万有引力定律是通过开普勒实际观察行星运动归纳出的三大定律：

①所有行星绕太阳的轨道都是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上。

②行星和太阳的连线在相等的时间间隔内扫过相等的面积。

③所有行星绕太阳一周的恒星时间的平方与它们轨道长半轴的立方成比例

以太阳为极坐标原点，根据第二定律：r²θ=C，于是有θ=Cu²，u=1/r，进行适当数学变换：

根据运动学方程：F=ma=m（r-rθ），将r=常常一串代入F=mrθ，得到比奈公式：

又根据第一定律，太阳（原点）在椭圆的一个焦点上，那么轨道方程为：r=p/(1+ecosθ)，其中p和e为椭圆的半通径和偏心率，为常数，那么有：

代入比奈公式，可以得到：

上式说明了行星在运动过程中受到太阳的引力大小和行星质量成正比，和距离的平方成反比。

这是一个行星的计算结果，只能说明行星受太阳的引力具有上式的形式，是否对任意的行星都具有相同的G呢？

令a为椭圆轨道长半径，e为偏心率，则椭圆面积为

代入引力公式有：

根据第三定律，对任意两个行星，a1³/T1²=a2³/T2²，于是我们发现G是一个常数！

万有引力定律证明完毕！！

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