求解一个简单概率题
因为甲乙都中奖两事件是互相独立事件(互斥事件一定不是独立事件),所以x的取值一定小于或等于1/2,则甲乙都中奖的区间就为[1/2,x],所以P(甲乙中奖)=1/2-x=P(甲)*P(乙),求得为x=2/5。希望对你有帮助!
这两件事情是独立的,互不影响。
中奖的概率包含 中一次和中两次 两件事情是互斥的,所以满足概率的加法法则
中一次的概率是0.9*0.1+0.1*0.9=0.18,中两次的概率是0.1*0.1=0.01
所以中奖概率是0.18+0.01=0.19
而答案是用的对立事件来求,两次都不中奖的概率是0.9*0.9=0.81
所以有中奖的概率就是1-0.9*2=0.19
再看看你的理解,问题在于,你第一次中奖是0.1,第二次中奖也是0.1
但是第一次中奖包含了一中二中和一中二不中,第二次的0.1也是如此,所以你重复计算了一次两中的概率,所以你算出来的0.2是比实际概率大的。因为第一次中奖和第二次中奖不是互斥的,不能相加的。
阿里巴巴全球数学竞赛的奖金总额约为30万美元。它对任何人开放,并且允许编程。下面是2021年决赛的概率与组合学赛道的第一道题。
问题
一场舞会以20个女孩和22个男孩开始,有无限多的女孩和男孩在外面等待。每轮比赛,从派队中随机挑选一个人。
如果一个女孩被选中,她邀请派对上的一个男孩跳舞,然后他们两个都离开派对。
如果一个男孩被选中,他邀请外面等待的一个女孩和一个男孩跳舞,然后他们三个都留在派对上。
如果还有2n人,选出一个女孩的概率是:Pr(G) = (n − 1) / (2n)
选出一个男孩的概率是:Pr(B) = (n + 1) / (2n)
一开始,有20个女孩和22个男孩,选出一个女孩的概率是:Pr(G) = 20 / 42
连续选出2个女孩的概率是:Pr(GG) = (20 / 42) × (19 / 40)
连续选出20个女孩的概率是:Pr(GG…G 20 times) = (20 / 42) × (19 / 40) × … (2 / 6)× (1 / 4)
增加了2对男女
去掉了2对男女
总体上没有变化
1,2,5,14,42,132,…
当派对上只剩下(两个)男孩时,派对就结束了。
问:派对永远不会结束的概率是多少?
理解问题
选一个女孩,派对上就会少一对男女;而选择一个男孩时,派对上就会多出一对男女。
这是一个“随机游动”的例子。每轮后,从派对中选中男孩和女孩的概率都会改变。
我们想要求出派对“永不结束”的概率,可以计算为:
因此,我们的挑战是找出,在有限轮之后派对结束的概率。
消去连续的分子和分母,我们得到
连续选出20个女孩的概率太小(几乎不可能)。派对也可以在第21回合、30回合或100回合后结束。
我想简化这个问题,希望找到一些规律。
简化问题
首先,研究最简单的情况。假设这个派对只有1个女孩和3个男孩。2轮后,有三个可能的结果:
让我们看看“没有变化”的概率,从最初的2个女孩和4个男孩开始:
我们发现,这个1/2与剩余人数无关。如果有2n人:
然后,我们可以计算其他两种情况的概率:
好了,现在让我们用这些规则来解决一个简单的问题:2个女孩,4个男孩的聚会结束了。
解决一个简单的情况
假设派对开始时只有2个女孩和4个男孩。所以我们只需要从派对中移除2对男女组合就可以了。
它是一个无穷级数,我假设它是收敛的(否则概率会超过1)。我们试着计算前几项开始,看看会发生什么。
(提醒一下,2n是聚会上剩下的人数。在本例中,我们从n = 3开始)。
下面,我把两个“两轮”分为一组,用“0”表示“没有变化”;“-2”表示“两对男女被移除”;“+2”表示“派对中增加2对男女”
Pr(2,−2)=(1/2)^4这一事实会非常有帮助。你可以用上面的公式进行验证并简化:
到目前为止,我们已经知道:
它看起来就像一个几何级数。我们继续往下看:
其中,3 × Pr(0,2,−2,−2)中的3给无穷级数增加了一些复杂性。之所以会出现这种情况是因为有3个位置可以放置0。
寻找结构
当数字增加时,计算−2和2的排列就变得更加复杂了。看看计算4个“−2”和3个“2”的情况就知道了:
但别忘记,竞赛是允许编程的,这让求解容易了很多。
运行这个程序,我发现只包含−2和2的可能的步数如下:
很多人可能不熟悉这个数列,这些被称为加泰罗尼亚数字。我还发现加泰罗尼亚数字有一个简单的生成函数:
其中,C_n是第n个加泰罗尼亚数字。
研究无穷级数
这里有无穷概率级数和加泰罗尼亚数字的关系:
首先,我用上面提到的Pr(0) = 1/2和Pr(2, -2) =(1/2)^4计算单个概率。
现在我们提取出公因式1/12,把它分成几个无穷级数:
黑色级数是无穷几何级数:1 + 1/2 + 1/4 +…,它收敛于2。
粉色,蓝色和橙色的级数都有相同的结构,与加泰罗尼亚数字的生成函数相似,它们都收敛于2。
现在对每一个单独的彩色级数求值,可以应用泰罗尼亚数字的生成函数:
2个女孩,4个男孩的派对在有限轮数后结束的概率正好是1/3。
解决这个“更简单的问题”已经是一个漫长的过程。幸运的是,扩展这个结果以解决最初的问题并不需要太多的工作。
答案
我要解决的下一个问题是,从20个女孩和22个男孩开始,在有限的轮数之后,2对男女被移除的概率。
计算方法与上面相同,只是上面的(1/12)将被(19/84)所代替,(19/84)是n = 21时选择2个女孩的概率。
我们可以用同样的方法计算n=19的情况:
然后把这些概率相乘,一直到上面的1/3。因为派对结束的唯一方式就是这些事件连续发生。
消去分子和分母就得到
现在,问题“派对永远不会结束的概率”的答案终于出来了:
答案是:1/21。
你三个相加不对呀,那样就重复啦,本来你把不满意工资和不满意工作的加起来,这就已经重复啦,你多算了一次两者都不满意的,因此你该剪去一个都不满意的比率,就是40+30-15=55。
阿里巴巴全球数学竞赛的奖金总额约为30万美元。它对任何人开放,并且允许编程。下面是2021年决赛的概率与组合学赛道的第一道题。
问题
一场舞会以20个女孩和22个男孩开始,有无限多的女孩和男孩在外面等待。每轮比赛,从派队中随机挑选一个人。
如果一个女孩被选中,她邀请派对上的一个男孩跳舞,然后他们两个都离开派对。
如果一个男孩被选中,他邀请外面等待的一个女孩和一个男孩跳舞,然后他们三个都留在派对上。
如果还有2n人,选出一个女孩的概率是:Pr(G) = (n − 1) / (2n)
选出一个男孩的概率是:Pr(B) = (n + 1) / (2n)
一开始,有20个女孩和22个男孩,选出一个女孩的概率是:Pr(G) = 20 / 42
连续选出2个女孩的概率是:Pr(GG) = (20 / 42) × (19 / 40)
连续选出20个女孩的概率是:Pr(GG…G 20 times) = (20 / 42) × (19 / 40) × … (2 / 6)× (1 / 4)
增加了2对男女
去掉了2对男女
总体上没有变化
1,2,5,14,42,132,…
当派对上只剩下(两个)男孩时,派对就结束了。
问:派对永远不会结束的概率是多少?
理解问题
选一个女孩,派对上就会少一对男女;而选择一个男孩时,派对上就会多出一对男女。
这是一个“随机游动”的例子。每轮后,从派对中选中男孩和女孩的概率都会改变。
我们想要求出派对“永不结束”的概率,可以计算为:
因此,我们的挑战是找出,在有限轮之后派对结束的概率。
消去连续的分子和分母,我们得到
连续选出20个女孩的概率太小(几乎不可能)。派对也可以在第21回合、30回合或100回合后结束。
我想简化这个问题,希望找到一些规律。
简化问题
首先,研究最简单的情况。假设这个派对只有1个女孩和3个男孩。2轮后,有三个可能的结果:
让我们看看“没有变化”的概率,从最初的2个女孩和4个男孩开始:
我们发现,这个1/2与剩余人数无关。如果有2n人:
然后,我们可以计算其他两种情况的概率:
好了,现在让我们用这些规则来解决一个简单的问题:2个女孩,4个男孩的聚会结束了。
解决一个简单的情况
假设派对开始时只有2个女孩和4个男孩。所以我们只需要从派对中移除2对男女组合就可以了。
它是一个无穷级数,我假设它是收敛的(否则概率会超过1)。我们试着计算前几项开始,看看会发生什么。
(提醒一下,2n是聚会上剩下的人数。在本例中,我们从n = 3开始)。
下面,我把两个“两轮”分为一组,用“0”表示“没有变化”;“-2”表示“两对男女被移除”;“+2”表示“派对中增加2对男女”
Pr(2,−2)=(1/2)^4这一事实会非常有帮助。你可以用上面的公式进行验证并简化:
到目前为止,我们已经知道:
它看起来就像一个几何级数。我们继续往下看:
其中,3 × Pr(0,2,−2,−2)中的3给无穷级数增加了一些复杂性。之所以会出现这种情况是因为有3个位置可以放置0。
寻找结构
当数字增加时,计算−2和2的排列就变得更加复杂了。看看计算4个“−2”和3个“2”的情况就知道了:
但别忘记,竞赛是允许编程的,这让求解容易了很多。
运行这个程序,我发现只包含−2和2的可能的步数如下:
很多人可能不熟悉这个数列,这些被称为加泰罗尼亚数字。我还发现加泰罗尼亚数字有一个简单的生成函数:
其中,C_n是第n个加泰罗尼亚数字。
研究无穷级数
这里有无穷概率级数和加泰罗尼亚数字的关系:
首先,我用上面提到的Pr(0) = 1/2和Pr(2, -2) =(1/2)^4计算单个概率。
现在我们提取出公因式1/12,把它分成几个无穷级数:
黑色级数是无穷几何级数:1 + 1/2 + 1/4 +…,它收敛于2。
粉色,蓝色和橙色的级数都有相同的结构,与加泰罗尼亚数字的生成函数相似,它们都收敛于2。
现在对每一个单独的彩色级数求值,可以应用泰罗尼亚数字的生成函数:
2个女孩,4个男孩的派对在有限轮数后结束的概率正好是1/3。
解决这个“更简单的问题”已经是一个漫长的过程。幸运的是,扩展这个结果以解决最初的问题并不需要太多的工作。
答案
我要解决的下一个问题是,从20个女孩和22个男孩开始,在有限的轮数之后,2对男女被移除的概率。
计算方法与上面相同,只是上面的(1/12)将被(19/84)所代替,(19/84)是n = 21时选择2个女孩的概率。
我们可以用同样的方法计算n=19的情况:
然后把这些概率相乘,一直到上面的1/3。因为派对结束的唯一方式就是这些事件连续发生。
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现在,问题“派对永远不会结束的概率”的答案终于出来了:
答案是:1/21。
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