求分式函数讲解

求分式函数的值域有啥公式~

可以用反函数法
或者不等式法
看情况啊，有很多方法


1
y=(2x)/(5x+1)，
(5y-2)x=-y
x=y/（2-5y）
明显的，y不等于2/5之外的其他任何实数

2
y=1/(x^2-2x+2)
=1/[(x-1)^2+1]
明显得，分母大于1
所以，y大于0，小于1

事实上2也可以用1做，自己试试~~~

求解二次分式函数值域的几点思考 我们知道求解二次分式函数值域的常规解法是判别式法，它实质上是利用函数、方程思想，等价转化思想将二次分式函数变形为关于 的一元二次方程，然后借助方程的判别式来求出值域的。例1． 求函数 的值域。解： 函数定义域为 故可将原函数等价变形为（*）（1） 当 时，由（*）得 （2） 当 时，方程（*）有实数解△= 解得： 且 综上（1）（2）得原函数的值域为 评注：由于函数定义域为 ，函数可等价转化为关于 的方程，故需考虑判别式即可解决问题。 对定义域不是实数集 的二次分式函数的值域，也可用判别式法来解，但容易出现错误。笔者在教学中发现，这样的一些分式函数有些是可以转化为形如 来求解的，并且还得出如下结论：结论：函数 的值域为 。对于这个结论有如下几种证明方法：方法一：根据极限观点，利用洛比达法则得极限 函数的值域为 ；方法二：（逆求法）由函数 求得其反函数为 ，反函数的定义域为 ，根据“原函数的值域就是反函数的定义域”可知原函数的值域 ；方法三：根据斜率公式 ，把 看作连结动点 与定点 的直线 的斜率，而动点在直线 上，数形结合可知， 。例2． 求函数 的值域。解法一：（判别式法）由 得 函数的定义域为 将函数变形为 （*）（1） 当 时，由（*）得 （2） 当 时，△= 整理得： 即 且 （若在此处下结论：函数的值域为 ，那就大错特错了！）（3）又当△= 时， 代入（*）得 求得： 综上（1）（2）（3）得原函数的值域为 评注：由于函数变形为方程式时不是等价转化，故在考虑判别式的同时，还需对使△= 的 值进行检验。若对应的自变量在函数定义域内则该 值在值域内，否则，应该舍去。但是，解题过程中第（3）个环节是非常容易被忽视的，导致解题的失误。细心的读者会发现原函数解析式的分子、分母是可因式分解，并含有相同的因式的，现在我们就从这一点入手分析来解决问题。解法二：由 得 又 根据上面结论可知： 又 原函数的值域为 。评注：著名数学家波利亚说“货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本”，在“知识”与“组织良好”之间，波利亚更强调后者，他说“良好的组织使得所提供的知识易于用上，这甚至可能比知识的广泛更为重要。”从本题的解题过程我们应该认识到，解决一个问题必须弄清问题，从条件中反映出来的具体的、特殊的情况出发，采取适当的解题计划，注意检验每一步骤，这样就会找到一条简捷的解题途径。例3． 求函数 的值域。 解法一：将函数解析式整理得 （*）设函数 （1）当方程（*）在区间 内有一根时，则有 ，即 解得 （2）当方程（*）在区间 内有两根时，则有 解得 综上（1）（2）可知原函数的值域为 评注：当二次分式函数的定义域是某一特定范围（要使得函数有意义）时，转化为方程后，等价于求该方程在这个特定范围内有解，从而将这类问题转化为一元二次方程的根的区间分布问题来求解。如果从这个函数解析式的特点（分母是一次式）上考虑，令 ，将分母化繁为简，或许会有意想不到的收获。解法二：令 （ ） 则 代入原函数解析式 整理得： （观察可知函数 在区间 上是单调增函数） 易证函数 在区间 上是单调增函数（略）当 时， ；当 时， 根据函数的单调性可知原函数的值域为 。评注：如果二次分式函数的定义域是给定的范围，且分母是关于 的一次式 ，可不妨令 ，等价转化为求解关于 的函数 的值域问题，注意发现函数 的单调性，问题解决就简单的多了。

……有上进心，值得赞扬！

分式的基本概念
I.定义：整式A除以整式B，可以表示成的 的形式。如果除式B中含有字母，那么称 为分式（fraction）。
注:A÷B= =A× =A×B-1= A�6�1B-1。有时把 写成负指数即A�6�1B-1,只是在形式上有所不同,而本质里没有区别.
II.组成：在分式 中A称为分式的分子，B称为分式的分母。
III.意义：对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义。
IV.分式值为0的条件：在分母不等于0的前提下，分子等于0,则分数值为0。
注:分式的概念包括3个方面：①分式是两个整式相除的商式，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号的作用；②分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母，这是区别整式的重要依据；③在任何情况下，分式的分母的值都不可以为0，否则分式无意义。这里，分母是指除式而言。而不是只就分母中某一个字母来说的。也就是说，分式的分母不为零是隐含在此分式中而无须注明的条件。
在数学领域，函数是一种关系，这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素（这只是一元函数f（x）＝y的情况，请按英文原文把普遍定义给出，谢谢）。函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的。

术语函数，映射，对应，变换通常都是同一个意思。

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