平面向量的向量积及其模的坐标运算公式及推导过程

平面向量的向量积及其模的坐标运算公式及推导过程~

向量积
设
为杠杆
的支点，力
与
的夹角为
（图7-19）。由力学知道，力
对支点的力矩
是一个向量，其模；向量
垂直
和
所决定的平面，其指向按
、
、
成右手系确定，即当右手的中指垂直于姆指和食指时，姆指表示
，食指表示
，中指的指向就是
的指向。我们称
为
与
的向量积。
1．定义
设向量
是由向量
与
按下列方式写出：的模
其中为与的夹角；
的方向垂直于
与
所决定的平面（即
），
的指向按
、
和
成右手系确定（图7-20）。则称
为向量
与
的向量积（或叉积），记作。
按定义可知，
（图7-20），它表明向量的向量积不满足交换律。向量积具有以下性质：
（1）满足下列运算律：
结合律
（
为数量）
分配律
。
（2）两向量平行的充要条件是它们的向量积为一零向量。
设向量
与
，当
与
都不为零向量时，由向量积定义可推出。
当
与
之一为零向量时，它可看作与任何向量平行，因此上述结合仍成立。
2．向量积的坐标表达式
设
，
按运算律，得，
注意到
，
，
，
，
，
，
，于是得。
从上面公式可以看出，向量
与
平行，等价于。
这和§3例3所讨论的结果是一致的。

向量积|c|=|a×b|=|a||b|sin
即c的长度在数值上等于以a，b，夹角为θ组成的平行四边形的面积。而c的方向垂直于a与b所决定的平面，c的指向按右手定则从a转向b来确定。
一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从以不超过180度的转角转向时，竖起的大拇指指向是的方向。由于向量的叉积由坐标系确定，所以其结果被称为伪向量。

扩展资料
代数规则：
1、反交换律：a×b=-b×a
2、加法的分配律：a×（b+c）=a×b+a×c。
3、与标量乘法兼容：（ra）×b=a×（rb）=r（a×b）。
4、不满足结合律，但满足雅可比恒等式：a×（b×c）+b×（c×a）+c×（a×b）=0。
5、分配律，线性性和雅可比恒等式别表明：具有向量加法和叉积的R3构成了一个李代数。
6、两个非零向量a和b平行，当且仅当a×b=0。
参考资料来源：百度百科-向量积

向量积

设 为杠杆 的支点，力 与 的夹角为 （图7-19）。由力学知道，力 对支点的力矩 是一个向量，其模；向量 垂直 和 所决定的平面，其指向按 、 、 成右手系确定，即当右手的中指垂直于姆指和食指时，姆指表示 ，食指表示 ，中指的指向就是 的指向。我们称 为 与 的向量积。
1．定义 设向量 是由向量 与 按下列方式写出：的模 其中为与的夹角；

的方向垂直于 与 所决定的平面（即 ）， 的指向按 、
和 成右手系确定（图7-20）。则称 为向量 与 的向量积（或叉积），记作。
按定义可知， （图7-20），它表明向量的向量积不满足交换律。向量积具有以下性质：
（1）满足下列运算律：
结合律 （ 为数量）
分配律 。
（2）两向量平行的充要条件是它们的向量积为一零向量。
设向量 与 ，当 与 都不为零向量时，由向量积定义可推出。
当 与 之一为零向量时，它可看作与任何向量平行，因此上述结合仍成立。
2．向量积的坐标表达式
设 ， 按运算律，得，
注意到 ， ， ， ， ，
， ，于是得。
从上面公式可以看出，向量 与 平行，等价于。
这和§3例3所讨论的结果是一致的。

可以明确的告诉你，是一样的，把2个坐标变成3个坐标就可以了。
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向量a=(x1,y1,z1)，向量b=(x2,y2,z2)
则：cos<a,b>=(x1x2+y1y2+z1z2)/(sqrt(x1^2+y1^2+z1^2)sqrt(x2^2+y2^2+z2^2))

这个对你可能有所帮助——http://jpk.whut.edu.cn/web20-2004/wangluokecheng/math/topic-7/7_3.htm

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