高等数学 连续性和可导性如何证明

（1）函数的连续性定义有三个条件：

f(x)在x=x0点有定义；f(x)在x→x0时极限存在；极限值等于函数值

此外,还有个命题，基本初等函数在其定义域中连续,初等函数在其定义区间中连续.

因此,判断函数的连续性,一般先观察函数是否为初等函数（由基本初等函数经过有限次四则运算以及复合而成的函数）,如果是,那么在它的定义区间上的每一点都是连续的!

如果函数是个分段函数,那么先考虑每个分段上的连续性,然后考虑分段点的连续性,采用的方法依据定义来判断!

（2）函数的可导性主要是考虑极限lim Δy/Δx=lim [f(x)-f(x0)]/(x-x0)是否存在的问题.

对于基本初等函数,它们也都是在它的定义域中可导的.如果碰到分段函数,记得分段点的可导性一定要用定义来判断!此外,对于一元函数来讲,可导必连续,反之未必成立!

扩展资料：

连续函数的性质

（1）如果ƒ(x)、g(x)都在x=α处连续，则ƒ(x)±g(x)，ƒ(x)g(x)， （只要g(α)≠0)也在x=α处连续。 

（2）如ƒ(x)在x=α处连续，且ƒ(α)≠0，则必在x＝α的某一小δ邻域（即|x-α|<δ）中，ƒ(x)不变号,即ƒ(x)与ƒ(α)同号。 

（3）在闭区间上的连续函数,必有上界和下界，且有最大值和最小值，并能取最小值和最大值之间的一切中间值。 

还可证明，所有初等函数在其有定义的区间上都是连续的。 

设I为一闭或开的区间，如果任给ε>0,必有δ>0存在，使对I中任何两点x，x′，只要|x-x′|<δ，便有｜ƒ(x)-ƒ(x′)|<ε，则称ƒ(x)在I上一致连续。

关于一致连续性有下面的重要定理：在闭区间上的连续函数一定在该区间上一致连续。这一定理有时称作康托尔定理。 

参考资料：百度百科——连续函数