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在生活中，每一处都离不开数学，所以，我们要学好数学，掌握好数学和用好数学。同时，也因为数学是离不开生活的，所以我们也会在生活中常常遇到一些难解的数学题。
记得有一次，我们到叔叔家里玩。玩着玩着，叔叔拿了10个硬币走了过来，说：“你们想要这些硬币吗？”“当然想啦！”大家异口同声地回答道。我望着叔叔，真有点丈二和尚——摸不着头脑，我感觉到叔叔好像在耍什么把戏似的。“你们想要这些硬币，就要回答我的问题，谁答对，硬币就全归他了。”说完，叔叔就提出一个问题：“怎样才能把10个硬币放进3个杯子里，使每个杯子里的硬币数都是奇数，看谁能找出最多的方法。”
听完叔叔的题目，大家冥思苦想。只见表弟在客厅里走来走去，表姐坐在椅子上冷静地思考着。不一会，我看见妹妹找来了材料，试着做。可是，做了很久，妹妹还是没找到具体解题的方法。我也不甘示弱，开动脑筋想着。哎，要是能把这硬币拿到手，那该多好啊！
过了十多分钟，大家都没有想到怎么做，叔叔见此情景，对我们说：“给你们一点提示吧！解这道题要学会多转几个弯，不要……”“等等！”话没说完，表弟好象想到了什么似的。只见他拿起10个硬币，先把第1个硬币放到第1个杯子里去，然后把3个硬币投进第2个杯子里，看到这里，我不禁想道：这个办法嘛，我早就想过了，根本就不行，剩下的硬币有6个，6是偶数，我可以肯定地说一句：“这个办法是行不通的。”当表弟把剩下的6个硬币放到第3个杯子时，我插嘴道：“这办法根本……”我的话还没说完，表弟就把我的话打断了，“表姐，你还是看我的表演吧！”表弟神气地说。只见他拿起第1个杯子，把那个硬币放到第3个杯子里去。“这就是第一种方法。”表弟得意地扮了个鬼脸。“哎呀！我真笨，怎么想到第三步就放弃了呢？真不值得！”接着，表弟按照第一次那样做，先把3个硬币放到第1个杯子里，然后在第二个杯子里放5个硬币，接着把剩下的硬币放到第三个杯子里，最后，把第一个杯子里的硬币放到第三个杯里去。这样第二种方法就完成了。按着这样的方法，表弟连续做了13次。
看到这里，站在一旁的叔叔拍起了手掌，点点头说：“真想不到，你这小鬼还会有动脑筋的时候，这回你赢了，10个硬币都归你了。”叔叔一边称赞表弟，一边抚摸着他的小脑袋。“不过，小欣，你得加把劲了，这回连表弟都赢了你。记住，凡事多动脑筋，别轻易放弃。”
是呀，叔叔说得对，凡事多动脑筋，别轻易放弃。如果我刚才想到第三步没放弃的话，再动动脑筋，那道题就被我解开了。以后，真的要加把劲，努力学好数学，掌握好数学，用好数学
生活中我会经常遇到与余数有关的问题，比如：某年级有将近400名学生。有一次演出节目排队时出现：如果每8人站成一列则多余1人；如果改为每9人站成一列则仍多余1人；结果发现现成每10人结成一列，结果还是多余1人；聪名的你知道该年级共有学生多少名吗？
假设有一名学生不参加演出，则结果一定是不管每列站8人或9人或10人都将刚好站齐。因此此时学生人数应是8、9、10公倍数，而8、9、10的最小公倍数是360，因此可知该年级共有361人。
研究与余数有关的问题，能帮助我们解决很多较为复杂的问题。
[分析]
1、两个整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即 a≡b（modm）
2、同余的重要性质及举例。
〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）
〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm）
〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）
〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm）
〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）
〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm）
其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性"
注意：一般地同余没有"可除性"，但是：
如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则a≡b（modm）
3、整数分类：
〈1〉用2来将整数分类，分为两类：
1，3，5，7，9，……（奇数）
0，2，4，6，8，……（偶数）
〈2〉用3来将整数分类，分为三类：
0，3，6，9，12，……（被3除余数是0）
1，4，7，10，13，……（被3除余数是1）
2，5，8，11，14，……（被3除余数是2）
〈3〉在模6的情况下，可将整数分成六类，分别是：
0（mod6）：0，6，12，18，24，……
1（mod6）：1，7，13，19，25，……
2（mod6）：2，8，14，20，26，……
3（mod6）：3，9，15，21，27，……
4（mod6）：4，10，16，22，29，……
5（mod6）：5，11，17，23，29，……
[经典例题]
例1：求437×309×1993被7除的余数。
思路分析：如果将437×309×1993算出以后，再除以7，从而引得到，即437×309×1993=269120769，此数被7除的余数为1。但是能否寻找更为简变的办法呢？
473≡3（mod7）
309≡1（mod7）
由"同余的可乘性"知：
437×309≡3×1（mod7）≡3（mod7）
又因为1993≡5（mod7）
所以：437×309×1993≡3×5（mod7）
≡15（mod7）≡1（mod7）
即：437×309×1993被7除余1。
例2：70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍恰好等于它两边两个数的和，这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，……，问这一行数最右边的一个数被6除的余数是几？
思路分析：如果将这70个数一一列出，得到第70个数后，再用它去除以6得余数，总是可以的，但计算量太大。
即然这70个数中：中间的一个数的3倍是它两边的数的和，那么它们被6除以后的余数是否有类似的规律呢？
0，1，3，8，21，55，144，……被6除的余数依次是
0，1，3，2，3，1，0，……
结果余数有类似的规律，继续观察，可以得到：
0，1，3，2，3，1，0，5，3，4，3，5，0，1，3，2，3，……
可以看出余数前12个数一段，将重复出现。
70÷2=5……10，第六段的第十个数为4，这便是原来数中第70个数被6除的余数。
思路分析：我们被直接用除法算式，结果如何。
例4、分别求满足下列条件的最小自然数：
（1）用3除余1，用5除余1，用7除余1。
（2）用3除余2，用5除余1，用7除余1。
（3）用3除余1，用5除余2，用7除余2。
（4）用3除余2，用7除余4，用11除余1。
思路分析：
（1）该数减去1以后，是3，5和7的最小公倍数105，所以该数的是105+1=106
（2）该数减去1以后是5和7的公倍数。因此我们可以以5和7的公倍数中去寻找答案。下面列举一些同时被5除余1，被7除余1的数，即
1，36，71，106，141，176，211，246，……从以上数中寻找最小的被3除余2的数。
36≡0（mod3），71≡2（mod3），符合条件的最小的数是71。
（3）我们首先列举出被5除余2，被7除余2的数，2，37，72，107，142，177，212，247，……
从以上数中寻找最小的被3除余1的数。
2（mod3），37≡（mod3）、因此符合条件的最小的数是37。
（4）我们从被11除余1的数中寻找答案。
1，12，23，34，45，56，67，78，89，100，133，144，155，166，177，188，199，210，232，243，……
1（mod3）； 1（mod7）， 不符合
12≡0（mod3）， 12≡5（mod7） 不符合
23≡2（mod3）， 23≡2（mod7） 不符合
34≡1（mod3）， 34≡6（mod7） 不符合
45≡0（mod3）， 45≡3（mod7） 不符合
56≡2（mod3）， 56≡0（mod7） 不符合
67≡1（mod3）， 67≡4（mod7） 不符合
78≡0（mod3）， 78≡1（mod7） 不符合
89≡2（mod3）， 89≡5（mod7） 不符合
100≡1（mod3）， 100≡2（mod7） 不符合
122≡2（mod3）， 122≡3（mod7） 不符合
133≡1（mod3）， 133≡0（mod7） 不符合
144≡1（mod3）， 144≡4（mod7） 不符合
155≡2（mod3），155≡1（mod7） 不符合
166≡1（mod3），166≡5（mod7） 不符合
177≡0（mod3），177≡2（mod7） 不符合
188≡2（mod3），188≡6（mod7） 不符合
199≡1（mod3），199≡3（mod7） 不符合
210≡0（mod3），210≡0（mod7） 不符合
221≡2（mod3），221≡4（mod7） 符合
因此符合条件的数是221。
例5 判断以下计算是否正确
（1） 42784×3968267=1697598942346
（2） 42784×3968267=1697598981248
思路分析：若直接将右边算出，就可判断
41784×3968267=169778335328，可知以上两结果均是错的；但是计算量太大。
如果右式和左式相等，则它们除以某一个数余数一定相同。因为求一个数除以9的余数只需要先求这个数数字之和除以9的余数，便是原数除以9的余数。我考虑上式除以9的余数，如果余数不相同，则上式一定不成立。
（1）从个位数字可知，右式的个位数字只能是8，而右式个位为6，因此上式不成立。
（2）右式和左式的个位数字相同，因而无法断定上式是否成立，但是
4+2+7+8+4=25， 25≡7（mod9）
3+9+6+8+2+6+7=41，41≡5（mod9）
42784≡7（mod9）；3968267≡5（mod9）
42784×3968267≡35（mod9）
≡8（mod9）
（1+6+9+7+5+9+8+9+4+2+3+4+8）≡3（mod9）
因此（2）式不成立
以上是用"除9取余数"来验证结果是否正确，常被称为"弃九法"。
不过应该注意，用弃九法可发现错误，但用弃九法没找出错误却不能保证原题一定正确。
习题
1、 求16×941×1611被7除的余数。
3、 判断结果是否正确：（1）5483×9117=49888511
（2）1226452÷2683=334
4、 乘法算式
3145×92653=2910 93995的横线处漏写了一个数字，你能以最快的办法补出吗？
5、 13511，13903，14589被自然数m除所得余数相同，问m最大值是多少？
就拿我两年前发生的一件事来说吧！那天，我起得早，妈妈让我帮她到楼下去买些早点，说完我就带着五元钱下楼了。来到楼下，买了早点，就付了钱。老板说：“这些总共是二元五角，我找你二元五角。”说完，就把钱交给了我，我见了，连忙说：“不对不对！你少给了我一元，应该找我三元五角才对呀！”老板听了，傻了眼，犹豫了一会儿，对我说：“小朋友，是你算错了，就是找你二元五角呀！”我一听，急得争了起来：“叔叔，是您算错了，明明就是三元五角嘛！”一旁的老板娘见了，用一口带有生气的方言，对我叫道：“瞧这孩子，年纪不小了，怎么连最基本的算术都不会！”在那儿吃饭的人听了都“哈哈哈”地笑了起来，我看了看，难过地跑回家，把事情的前因后果都告诉了爸爸妈妈。爸爸妈妈听了，也笑得前俯后仰，我生气地说：“连你们都笑我！”爸爸连忙解释道：“不是我们爱笑你，这是因为你没理解，没去思考数学中的‘元角分’。那我问你两张五角等于多少。”
“一元。”
“那两张二元等于多少？”
“当然是四元喽！”
最后，我终于在爸爸的解释中明白了自己的不认真。从此我再也没犯过同样的错误。
这个笑话，我都不会忘记，它给我一个教训，永远印在我的脑海里。
同学们，一定要认真学数学，数学可不是那么简单的家伙。学后一定要记着：在生活中学数学，在生活中用数学。
下午放学时，班主任老师给我们布置了一道家庭作业，要求大家想办法测算一次性筷子的体积，并用数学日记的形式将测算过程记录下来。这道家庭作业，表面上是一次数学实践活动，实际可能寓意更深，因为一次性筷子的使用与环保有关。
一回到家，我就静静地坐在书桌前思考这个问题。一次性筷子的形状是一个不规则的立体图形，怎样才能测算出它的体积呢？我思来想去，一会儿抓耳挠腮，一会儿摇摇头……
终于，有了一点眉目。我可以将一次性筷子放入装满水的容器中，这样容器中的水就会溢出来，溢出水的多少不就是筷子的体积吗？可是筷子比水轻，会浮在水面上，又该怎么办呢？可不可以用石头或胶布之类的东西将筷子固定住呢？我想应该是可以的，但这些办法测定起来又都太麻烦了，要是有更简便的方法该多好啊！经过冥思苦想，我终于自豪的笑了。
数学日记一
月 日 周
今天中午，我正在做数学暑假作业。写着写着，不幸遇到了一道很难的题，我想了半天也没想出个所以然，这道题是这样的：
有一个长方体，正面和上面的两个面积的积为209平方厘米，并且长、宽、高都是质数。求它的体积。
我见了，心想：这道题还真是难啊！已知的只有两个面面积的积，要求体积还必须知道长、宽、高，而它一点也没有提示。这可怎么入手啊！
正当我急得抓耳挠腮之际，我妈妈的一个同事来了。他先教我用方程的思路去解，可是我对方程这种方法还不是很熟悉。于是，他又教我另一种方法：先列出数，再逐一排除。我们先按题目要求列出了许多数字，如：3、5、7、11等一类的质数，接着我们开始排除，然后我们发现只剩下11和19这两个数字。这时，我想：这两个数中有一个是题中长方体正面，上面公用的棱长；一个则是长方体正面，上面除以上一条外另一条
棱长（且长度都为质数）之和。于是，我开始分辩这两个数各是哪个数。
最后，我得到了结果，为374立方厘米。我的算式是：209＝11×19 19＝2＋17 11×2×17＝374（立方厘米）
后来，我又用我本学期学过的知识：分解质因数验算了这道题，结果一模一样。
解出这道题后，我心里比谁都高兴。我还明白了一个道理：数学充满了奥秘，等待着我们去探求。
数学日记二
月日 周
今天晚上，我看见一道会迷惑人的数学题，题目：37个同学要渡河，渡口有一只能乘上5人的空小船，他们要全部渡过河，至少要使用这只小船多少次？
粗心的人往往会忽略“空小船”，就是忘了要有一个撑船，那么每次只能乘4人。这样37人减去一位撑船的同学，剩36位同学，36除以4等于9，最后一次到对岸当船夫的同学也上岸4，所以至少要走9趟。
数学日记三
月日 周
傍晚，我在奥林匹克书中看到一道难题：果园里的苹果树是梨树的3倍，老王师傅每天给50棵苹果树20棵梨树施肥，几天后，梨树全部施上肥，但苹果树还剩下80棵没施肥。请问：果园里有苹果树和梨树各多少棵？
我没有被这道题吓倒，难题能激发我的兴趣。我想，苹果树是梨树的3倍，假如要使两种树同一天施完肥，老王师傅就应该每天给“20×3”棵苹果树和20棵梨树施肥。而实际他每天只给50棵苹果树施肥，差了10棵，最后共差了80棵，从这里可以得知，老王师傅已经施了8天肥。一天20棵梨树，8天就是160棵梨树，再根据第一个条件，可以知道苹果树是480棵。这就是用假设的思路来解题，因此我想，假设法实在是一种很好的解题方法。
数学日记四
月日 周
今天我又遇到一道数学难题，费了好大的劲才解出来。题目是：两棵树上共有30只小鸟，乙树上先飞走4只，这时甲树飞向乙树3只，两棵树上的小鸟刚好相等。两棵树上原来各有几只小鸟？
我一看完题目，就知道这是还原问题，于是用还原问题的方法解。可验算时却发现错了。我便更加认真地重新做起来。我想，少了4只后一样多，那一半是13只，还原乙树是14只；甲树就是16只。算式为：（30—4）÷2=13（只）；13—3+4=14（只）；30—14=16（只）。答案为：甲树16只，乙树14只。
通过解这道题，我明白了，无论做什么题，都要细心，否则，即使掌握了解题方法，结果还会出错。
一）
今天，我们一家去龙港的肯德基去吃全家套餐。
到了那儿，人一直挤着，我们好不容易点好菜，就找到位子坐下。菜来了，是一桶大套餐。里面有12个鸡腿，我想：怎么平均分呢？这时，我想起除法12÷3=4。我们每人四个鸡腿，我后来又吃了老妈的1个鸡腿，阿姨的2个鸡腿，阿姨说：“这总不能白吃，我问你，你吃了几分之几？你再吃几份就全吃了？“我想了想，回答：“我吃了7/12，再吃5/12就全吃了。”幸好，我学了分数的知识，可以正确回答问题了.
（二）
今天，妈妈给了我10元钱去超市买东西。我买了一串鞭炮用了钱的2/10，又买了棒棒糖四根用了钱的1/10，还买了7个汽球，用了钱的2/10，最后买了一把梳子，用了钱的4/10，一共用了2/10+1/10+2/10+4/10=9/10。还剩下一元钱只好还给妈妈了。
到家后，妈妈吃了棒棒糖的1/4，爸爸吃了棒棒糖的1/4， 我吃了棒棒糖的1/4，还剩下一根，我送给了隔壁的小强哥哥吃。（作者：肖恩玲）
（三）
上个星期，我们学习了分数。分数有分子、分母和分数线，比如：1/3，3是分母，1是分子，中间一横是分数线。
活中有很多地方都要用到分数，比如：一本书有三十页，每一页是一本书的1/30。分数还可以用来加减呢！比如：二分之一加二分之一等于二分之二，也就是1。为什么会这样呢？如果一个饼把它平均分成两份，每份就是这个饼的1/2，再把这两份拼起来，就是有2个1/2，刚好是一个饼。分数在加减时，如果分母都是一样的，就不管分母，把分子相加就可以了。而2/2的分子和分母都一样，就是1了。
我还学会了比分数的大小，老师教了我们口诀：分子相同比分母，分母大的分数小，分母小的分数大；分母相同比分子，分子大的分数大，分子小的分数小。
老师还提醒我们，写分数时，一般先写分数线，表示平均分的意思，再写分母，最后写分子.
数学日记2
月日 星期 天气：晴 心情：开心
今天，我们全校去秋游，我买了非常多的零食，我这次带去的零食被我和XXX还有几个同学吃了很多。
2包喜之郎水果果冻吃了4分之3，雪碧被我喝完了，一条益达口香糖被我吃了5分之1，一桶品客薯片番茄味被我们吃了2分之1，一包上好佳冰柠檬硬糖被我们吃了4颗糖。
今天可真开心啊！
数学日记
月日 天气：阴 星期 心情：开心
明天，我们全校就要去秋游了，我在晚上去胜佳超市买了很多零食，我买了2包喜之郎水果果冻（2元）、一瓶600ml的雪碧（2.6元）、一条益达口香糖13.5g（2.2元）、一桶品客薯片番茄味（13.5元）、一包旺旺小馒头50g（2.3元）和一包上好佳冰柠檬硬糖120g（3.2元）。我一共用了2+2.6+2.2+13.5+2.3+3.2＝28.6（元）。
真希望明天的秋游快点来啊！
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