【高等数学】两个重要的极限
一、首个关键极限：一个公式揭示的智慧
当分子和分母共享一个变量，且分子趋于零时，极限的魔力显现。公式揭示了这样的规律：当 (x-a)趋近于0， (f(x) - L)乘以 (1/(x-a))的极限为 f(a)本身。
例1： 求 lim (x->a) [(f(x) - f(a)) / (x-a)]，利用这个公式，我们有：
注意到 x->a 时，f(x) - f(a) 可以凑成 (x-a) * g(x) 形式，抵消后得到 f'(a)。
注： 原趋势的关键在于保证 (x-a) 趋近于 0，替换或直接计算皆可。
二、第二个关键极限：乘幂奇缘
当面对形如 (1 + h)^n 或 (1 + 1/h)^n 的极限问题，两个公式为我们提供了解决之道：若 h 趋近于 0，极限分别为 e^n 和 1。它们的共同点是倒数关系，确保幂次项抵消。
例2： 求 lim (x->0) [(1 + x)^1/x]，可以通过 1 + x 变形为 (1 + 1/x)，应用右极限公式。
注： 保持 h 或 1/h 的趋势不变，即可顺利求解。
附加：极限的运算神器
掌握极限的指数运算法则，如若 lim (x->a) [f(x)^g(x)] 存在，那么 lim (x->a) [f(x)]^g(x) = [lim (x->a) f(x)]^[lim (x->a) g(x)]，这为复杂极限问题提供了简便路径。
导数定义的极限公式：逼近速度的揭示
最后，让我们聚焦导数定义的极限公式：若 f(x) 在 x=a 点连续，那么 f'(a) = lim (h->0) [f(a+h) - f(a)] / h，这是理解函数变化率的基石。
例3： 求 f'(a)，只需将极限应用于此公式，我们有：
...
通过理解并熟练运用这些关键极限，我们就能在求解高等数学中的极限问题时游刃有余。
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