初二年级奥数勾股定理试题及答案
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一、单选题
1．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A. 12，15，18 B. 12，35，36 C. 2，3，4 D. 5，12，13
【答案】D
2．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于（ ）
A. 1- B. 1- C. D.
【答案】D
【解析】试题分析：设CD与B′C′相交于点O，连接OA．
根据旋转的性质，得∠BAB′＝30°，则∠DAB′＝60°．
3．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）
A. 5 B. 25 C. 10 +5 D. 35
【答案】B
【解析】试题解析：将长方体展开，连接A、B，
根据两点之间线段最短，
（1）如图，BD=10+5=15，AD=20，
由勾股定理得：AB= ．
4．在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】A
【解析】解：由勾股定理的几何意义可知：S1+S2=1，S2+S3=2，S3+S4=3，S1+S2+S3+S4=4，故选A．
5．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为81，小正方形面积为16，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（ ）
A. x2+y2=81 B. x+y=13 C. 2xy+16=81 D. x－y=4
【答案】B
6．如图，带阴影的长方形面积是（ ）
A. 9 cm2 B. 24 cm2 C. 45 cm2 D. 51 cm2
【答案】C
【解析】试题解析：由图可知，△ABC是直角三角形，
∵AC=8cm，BC=12cm，
∴AB= =15cm，
∴S阴影=15×3=45cm2．
故选C．
7．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则大正方形与小正方形的面积差是( )
A. 9 B. 36 C. 27 D. 34
【答案】B
【解析】大正方形的面积为32＋62＝45，小正方形的面积为（6－3）2＝9，则面积差为45－9＝36．故选B．
8．如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2.则BD的长为（ ）
A. B. C. 3 D. 2
【答案】B
故选B.
9．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5m处折断倒下，倒下后树顶落在树根部大约12m处。这棵大树折断前高度估计为 （ ）
A. 25cm B. 18m C. 17m D. 13m
【答案】B
10．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，若AD∶BD＝5∶2，AC＝17，BC＝10，则BD的长为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】根据AD∶BD＝5∶2，设AD=5x，BD=2x，根据勾股定理得： ,即
，解得x=3,则BD=2x=6.故选C.
11．已知x，y为正数，且|x－4|＋(y－3)2＝0，如果以x，y为边长作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边长为边长的正方形的面积为( )
A. 5 B. 7 C. 7或25 D. 16或25
【答案】D
12．如图,AB⊥CD于B,△ABD和△BCE都是等腰直角三角形,如果CD=17,BE=5,那么AC的长为( )
A. 12 B. 7 C. 5 D. 13
【答案】D
【解析】∵AB⊥CD，
∴∠ABD=∠ABC=90°，
又∵△ABD和△EBC都是等腰三角形，
∴EB=BC=5，AB=BD，
∴AB=BD=DC-BC=17-5=12，
∴在Rt△ABC中，AC= .
故选D.
13．一个直角三角形的两条边分别是6和8，则第三边是（ ）
A. 10 B. 12 C. 12或 D. 10或
【答案】D
【解析】（1）当长为6和8的两边都是直角边时，第三边是斜边，其长为： ；
（2）当长为8的是斜边是，第三边是直角边，其长为： ；
即第三边的长为10或 .
故选D.
14．如图，把长方形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处, 已知∠MPN＝90°，且PM＝3，PN＝4，那么矩形纸片ABCD的面积为（ ）
A. 26 B. 28.8 C. 26.8 D. 28
【答案】B
15．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ）
A. 121 B. 120 C. 90 D. 不能确定
【答案】C
【解析】设另一直角边长为 ，则由题意可知斜边长为 ，根据勾股定理可得： ，解得： ，
∴这个直角三角形的周长为：40+41+9=90.故选C.
二、填空题
16．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是_____米．
【答案】2.5．
17．如图， 中，∠B= ，AB=3㎝，AC=5㎝，将 折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则CE＝____㎝．
【答案】
18．如图，在△ABC中，AB＝15cm，AC＝13cm，BC＝14cm，则△ABC的面积为________cm2.
【答案】84
【解析】作CD ,垂足为D，设AD=x,则BD=15-x,根据勾股定理得： ，即 解得： ,则S= .故答案为84.
19．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m，则这辆小汽车的速度是__m/s．
【答案】20
【解析】试题解析：在Rt△ABC中，AC=30m，AB=50m；
据勾股定理可得：BC= =40（m），
故小汽车的速度为v= =20m/s．
20．直角三角形的两边长分别是3和4，则此三角形的面积是______________
【答案】6或
21．△ABC中，AB＝AC＝9，BC＝12，D是线段BC上的动点（不含端点B，C），当线段AD＝7时，BD的长为 ．
【答案】4或8
【解析】如图，AE⊥BC于点E，则∠AED=90°，
∵AB=AC，BC=12，
∴BE=CE=6，
∴在Rt△ABE中，AE2=AB2-BE2=45.
又∵AD=9，
∴在Rt△ADE中，DE= 2.
∴①当点D在B、E之间时，BD=BE-DE=6-2=4；
②当点D在C、E之间时（图中的D1处），BD=BE+DE=6+2=8.
∴BD的长为4或8.
22．如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为9、4、4、1，则的正方形E的面积是_______．
【答案】18
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13776764975：初二奥数几何题
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1．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A. 12，15，18 B. 12，35，36 C. 2，3，4 D. 5，12，13
【答案】D
2．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于（ ）
A. 1- B. 1- C. D.
【答案】D
【解析】试题分析：设CD与B′C′相交于点O，连接OA．
根据旋转的性质，得∠BAB′＝30°，则∠DAB′＝60°．
3．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）
A. 5 B. 25 C. 10 +5 D. 35
【答案】B
【解析】试题解析：将长方体展开，连接A、B，
根据两点之间线段最短，
（1）如图，BD=10+5=15，AD=20，
由勾股定理得：AB= ．
4．在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】A
【解析】解：由勾股定理的几何意义可知：S1+S2=1，S2+S3=2，S3+S4=3，S1+S2+S3+S4=4，故选A．
5．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为81，小正方形面积为16，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（ ）
A. x2+y2=81 B. x+y=13 C. 2xy+16=81 D. x－y=4
【答案】B
6．如图，带阴影的长方形面积是（ ）
A. 9 cm2 B. 24 cm2 C. 45 cm2 D. 51 cm2
【答案】C
【解析】试题解析：由图可知，△ABC是直角三角形，
∵AC=8cm，BC=12cm，
∴AB= =15cm，
∴S阴影=15×3=45cm2．
故选C．
7．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则大正方形与小正方形的面积差是( )
A. 9 B. 36 C. 27 D. 34
【答案】B
【解析】大正方形的面积为32＋62＝45，小正方形的面积为（6－3）2＝9，则面积差为45－9＝36．故选B．
8．如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2.则BD的长为（ ）
A. B. C. 3 D. 2
【答案】B
故选B.
9．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5m处折断倒下，倒下后树顶落在树根部大约12m处。这棵大树折断前高度估计为 （ ）
A. 25cm B. 18m C. 17m D. 13m
【答案】B
10．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，若AD∶BD＝5∶2，AC＝17，BC＝10，则BD的长为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】根据AD∶BD＝5∶2，设AD=5x，BD=2x，根据勾股定理得： ,即
，解得x=3,则BD=2x=6.故选C.
11．已知x，y为正数，且|x－4|＋(y－3)2＝0，如果以x，y为边长作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边长为边长的正方形的面积为( )
A. 5 B. 7 C. 7或25 D. 16或25
【答案】D
12．如图,AB⊥CD于B,△ABD和△BCE都是等腰直角三角形,如果CD=17,BE=5,那么AC的长为( )
A. 12 B. 7 C. 5 D. 13
【答案】D
【解析】∵AB⊥CD，
∴∠ABD=∠ABC=90°，
又∵△ABD和△EBC都是等腰三角形，
∴EB=BC=5，AB=BD，
∴AB=BD=DC-BC=17-5=12，
∴在Rt△ABC中，AC= .
故选D.
13．一个直角三角形的两条边分别是6和8，则第三边是（ ）
A. 10 B. 12 C. 12或 D. 10或
【答案】D
【解析】（1）当长为6和8的两边都是直角边时，第三边是斜边，其长为： ；
（2）当长为8的是斜边是，第三边是直角边，其长为： ；
即第三边的长为10或 .
故选D.
14．如图，把长方形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处, 已知∠MPN＝90°，且PM＝3，PN＝4，那么矩形纸片ABCD的面积为（ ）
A. 26 B. 28.8 C. 26.8 D. 28
【答案】B
15．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ）
A. 121 B. 120 C. 90 D. 不能确定
【答案】C
【解析】设另一直角边长为 ，则由题意可知斜边长为 ，根据勾股定理可得： ，解得： ，
∴这个直角三角形的周长为：40+41+9=90.故选C.
二、填空题
16．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是_____米．
【答案】2.5．
17．如图， 中，∠B= ，AB=3㎝，AC=5㎝，将 折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则CE＝____㎝．
【答案】
18．如图，在△ABC中，AB＝15cm，AC＝13cm，BC＝14cm，则△ABC的面积为________cm2.
【答案】84
【解析】作CD ,垂足为D，设AD=x,则BD=15-x,根据勾股定理得： ，即 解得： ,则S= .故答案为84.
19．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m，则这辆小汽车的速度是__m/s．
【答案】20
【解析】试题解析：在Rt△ABC中，AC=30m，AB=50m；
据勾股定理可得：BC= =40（m），
故小汽车的速度为v= =20m/s．
20．直角三角形的两边长分别是3和4，则此三角形的面积是______________
【答案】6或
21．△ABC中，AB＝AC＝9，BC＝12，D是线段BC上的动点（不含端点B，C），当线段AD＝7时，BD的长为 ．
【答案】4或8
【解析】如图，AE⊥BC于点E，则∠AED=90°，
∵AB=AC，BC=12，
∴BE=CE=6，
∴在Rt△ABE中，AE2=AB2-BE2=45.
又∵AD=9，
∴在Rt△ADE中，DE= 2.
∴①当点D在B、E之间时，BD=BE-DE=6-2=4；
②当点D在C、E之间时（图中的D1处），BD=BE+DE=6+2=8.
∴BD的长为4或8.
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【答案】18
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