根据函数极限的定义证明

使||，|证题的步骤基本为： 任意给定duε>0，要使|f(x)-A|0，使当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|0，要使|lnx-1|0，都能找到δ>0，使当0<|x-e|<δ时，有|f(x)-1|<ε . 即当x趋近于e时，函数f(x）有极限1 说明一下：

1、取0<|x-e|，是不需要考虑点x=e时的函数值，它可以存在也可不存在，可为A也可不为A。

2、用ε-δ语言证明函数的极限较难，通常对综合大学数学等少数专业才要求。

例如：

极限定义，就是ε-δ定bai义。对于任意小正du数ε，存在正数δ，只zhi要|x-x0|≤δ，都有|f(x)-A|≤ε,就说

x趋近于x0时，函数有极限A。

如果极限是±∞，极限定义要换一个说法：

对于任意大正数M，存在正数δ，只要|x-x0|≤δ，都有f(x)>+M,或者f(x)<-M，就说函数x趋近于x0时有极限+∞或-∞。

如果x趋近于无穷大，仿此换一种说法：

对于任意小正数ε，存在一个正数M，对于所有x＞M或者x＜-M，都有|f(x)-A|≤ε,就说

x趋近于+或-∞时，函数有极限A。

如果此时的极限也是无穷大：

对于任意大正数P，存在一个正数M，对于所有x＞M或者x＜-M，都有|(x)>P,或者f(x)<-P,,就说x趋近于+或-∞时，函数极限为+∞或-∞。

扩展资料：

在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数 ，并且要满足极限是趋于同一方向 ，从而证明或求得函数 的极限值。

当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，可以通过下面几个小方法解决：

第一：因式分解，通过约分使分母不会为零。

第二：若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。

第三：以上我所说的解法都是在趋向值是一个固定值的时候进行的，如果趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的最高次方。（通常会用到这个定理：无穷大的倒数为无穷小）

参考资料来源：百度百科-函数极限