数学优质课的从理论的层面上看——实现数学化

这个是怎么化的，用的什么数学定理~

重在理解 画个知识结构图 而不是分点的一条条来 根据之间的联系
还有 上课多听 多做练习~~（不变的真理）

案例：教学一年级内容“在两个箱子里分别装着9瓶和5瓶牛奶，一共有几瓶牛奶？”可以抽象成一个简单的数学问题：9和5合起来是多少？从实际问题剥离出简单的数学问题，就是思考、寻找具体问题情境中的抽象结构、建立数学模型的过程，是横向数学化。接着，列出算式“9+5”，探索：9+5应该怎样计算？这是纵向数学化活动，是创造算法化的过程。
案例：教学二年级内容“今晚开家长会，据统计，将有81位家长到会。会议安排在会议室进行。会议室要布置桌子，每张桌子可以坐6位家长（教师画了一个长方形代表桌子，桌子周围画了6个半圆代表人）。问：需要多少张桌子？”
学生甲：按照老师的提示，一张桌子周围画6个人，这样画了13张桌子，在第14张桌子周围画了3个人。得出结论，需要14张桌子。
学生乙：开始像甲一样画桌子，画了2张桌子后，他改变了方式，“太麻烦了”，用算式来做吧，81÷6=13……3。得出结论，需要14张桌子。
学生丙：直接用算式来算，81÷6=13……3。得出结论。
学生甲仅仅停留在实物操作的层面。当然，实物操作是实现数学化的重要的可视化的工具，也是必要的阶段。但是，仅仅停留在这样一个层面上，学生的思维就达不到较高的水平。没有抽象化和符号化，就没有数学。
学生丙处在符号操作的层面。仅仅用算式来表示，没有经过动手操作的过程，当寻求算式的意义的时候，往往会出现问题。比如，有的学生会回答说，需要13张桌子，还余3个人。其错误的原因在于没有经历数学化的完整过程。
只有学生乙经历了数学化的完整过程。先进行实物操作，然后用符号（即算式）来表示。由于有了动手操作的基础，学生自然理解了算式的实际意义。所以，当得到算式时，学生会得出需要14张桌子的结论。
案例：教学二年级“寻找余数比除数小的规律”
片断一：
师：余数与除数之间有什么关系？我们先来计算几道有余数的除法，再来看看余数的大小与除数有什么关系？（学生计算）
17÷4=4……1，
18÷4=4……2
19÷4=4……3
师启发学生得出“余数比除数小”
师：为什么余数一定要比除数小？学生大都说“不知道”。
片断二：
学生经历脑中分豆子，然后
师：现在我们不用实物分豆子，也不用脑中分豆子了，用算式来分豆子，将17粒豆子平均分到4个盘子里，怎样用算式表示？18粒呢？19粒呢？
生思考并写出相应的算式。
师板书：17÷4=4……1，
18÷4=4……2
19÷4=4……3
每写出一个算式后，请学生寻求算式的意义。
师：请同学们观察以上算式，你发现了什么？你能对你的发现进行解释吗？
学生汇报了好多发现后，有一个学生说：“余数要比除数小，因为，如果余数比除数大的话，还可以继续分。”
分析：片断一明确提出了目标——找余数和除数的关系。师生共同进行有余数除法的运算，通过观察算式，得到了余数比除数小的规律。学生是通过纵向的数学化得到这一规律的。由于学生缺了横向数学化的基础，丢掉了对意义的寻求，少了探索的时空，因而，学生没有真正理解余数的意义，也就很难理解为什么会有这一规律了。
片断二就比较好地解决了这个问题，帮助学生顺利地实现了数学化。教师提供给学生活动的时间，提供的问题也具有一定的开放性，教师不断地维持对意义的寻求，从而，教师引起并保持了学生的高认知水平。从横向数学化的角度来说，每看到一个算式后，教师都让学生结合分豆子来解释算式的意义，因而，在学生的头脑中加深了对余数的意义的理解，“余数就是剩下的不能再分的豆子”，其潜在的台词就是“余下的豆子数比盘子数要少”，更进一步的、稍稍抽象的台词是“余数要比除数小”。从纵向数学化的角度来看，通过比较、不完全归纳发现，余数1，2，3，要比除数小，因为余下的豆子数比盘子数要少，否则就可以继续分了。在寻求余数的意义的同时，也在寻求“余数比除数小”的原因，也在寻求余数比除数小的规律。余数的意义是基础，它有待升华为余数的规律，余数的规律要回到现实中去，必须寻求对余数意义的理解。 （1）创设有数学含量的情境
创设有数学含量的教学情境能激发学生的学习兴趣，为学生提供良好的学习数学环境。顾冷沅指出：“引起兴趣的有内容本身、内容的表达方式以及内容的学习方式等，但一味追求兴趣的教学活动也会出现偏颇，人们注意到，知识不总是好玩的，也不总是容易的，学习在本质上是一个不断克服困难的过程。对于学生的终身学习而言，长效的核心知识必须作为学生学习的真正主干。”数学课堂创设适宜的情境要根据具体内容，帮助学生更好地学习和理解数学知识，为学生学习数学服务，促使学生用数学的眼光关注情境，为数学知识和技能的学习提供支撑，为数学思维的发展提供土壤。数学课要上出数学味道来，体现数学的本源性。
案例：老师在教整数加法交换律时，创设了这样一个情境：老师准备了一个带长柄的勺子，请一名学生拿着它的末端舀汤放到自己的嘴里。一个学生上来试了试，怎么也喝不到汤。然后老师安排4个学生，分成两组，看哪个小组先喝到汤。学生逐渐明白，只有把汤送到对方饿嘴里，才能喝到。然后老师说，这就是生活中的交换律。
这个情境的确生活化了，学生的活动也很热闹，但是，这体现出加法交换律了吗？这是一种误导，生活中的交换律和数学中的交换律有着本质的区别，不可将交换律庸俗为生活中的交换。这个情境本身缺少数学的含量，缺失了数学的本质。
案例：教学北师大版三年级《小树有几棵》
教师利用多媒体出示教学情境图，引导学生观察。
师：同学们，你们知道植树造林对人类的好处吗?每年我们学校都要植树，那么今天我们来看一看，植树的活动中有哪些数学问题。
(设计意图创设学生所熟悉的植树这一生活情境，密切数学与现实生活的联系，同时对学生进行环保教育。)
2．请你认真观察图后和同桌说说你看到了什么，(一共有几捆小树?每捆有几棵?)你能提出哪些数学问题?
引导学生提出问题“小树一共有多少棵?”。
学生列出算式20×3，然后尝试计算。
教师结合生活具体情境，从实物-问题-算式，学生经历了横向数学化的过程，同时培养学生提出问题和解决问题的意识和能力。这情境数学含量高，又不花哨。
（2）遵循由实物操作到表象操作再到符号操作的认知过程
布鲁纳关于儿童智力发展的研究表明，儿童的认知发展需要经历三个阶段：动作认知、图形认知和符号认知，对应着思维发展的三种水平：操作水平、表象水平和分析水平。因而，对于小学生而言，一般要经历从实物到表象再到符号的三个操作阶段。但是，对于程度较好的学生，完全有能力直接进入形式化的符号操作阶段。另外，对于纵向的数学化而言，自然是从符号到符号的操作，但是，我们也应该看到，其最初的符号操作也还是依赖于直观和实物的。
案例：学生计算“9+5”时，处在动作认知水平的学生，可能会先数出9根和5根小棒，然后合在一起数，得出14根，他们利用实物的图式，还摆脱不了数数的具体操作；处在图形认知水平的学生，可能会先画出两堆小圆圈，一堆9个一堆5个，然后从5个中划出1个小圆圈并到另一堆，变成10个一堆和4个一堆，得出14，他们利用图形的图式，已经摆脱了动作，可以借助表象进行思维了；处在符号认知水平的学生，可以进行抽象的思维：9+1=10，10+4=14。他们利用符号的图式，有良好的数感和符号感。
（3）寻求形式化的符号的意义
完成从实物操作上升到符号操作这一数学化的过程，这只是完成了认知过程的一个方面。另一方面，要寻求符号表示的意义，形式化的知识只有回到现实中，才能实现自身的意义，也才能完成认知的使命；这也是保持高认知水平的需要，不断地追求符号的意义，才能激发学生认知的动力，提升认知的水平。

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