lim(x,y→0,0) [x*sin(1/y)+y*sin(1/x)]=?

求二元函数极限 x→0,y→0,lim [(x+y)sin(1/x)cos(1/y)]~

解：∵-(x+y)≤(x+y)sin(1/x)cos(1/y)≤x+y
又lim(x->0,y->0)(x+y)=0
∴根据夹逼定理知lim(x->0,y->0)[(x+y)sin(1/x)cos(1/y)]=0

lim x→0y→0(xsin1/y+ysin1/x)
= lim x→0y→0(xsin1/y + xsin1/x - xsin1/x + ysin1/x)
= lim x→0y→0[x(sin1/y + sin1/x)] + lim x→0y→0 [(y- x)sin1/x]
= 0 + 0
= 0
（因为 -2 ≤ sin1/y + sin1/x ≤ 2
-1 ≤ sin1/x ≤ 1
所以 lim x→0y→0[x(sin1/y + sin1/x)] = 0
lim x→0y→0 [(y- x)sin1/x] = 0 ）

因为x→0,y→0时，x是无穷小量，而sin(1/y)是有界变量，因此limxsin(1/y)=0;

同理，y是无穷小量，sin(1/x)是有界变量，因此limysin(1/x)=0.

两个无穷小量之和仍为无穷小量。

sin函数绝对值小于等于1
有|xsin(1/y)+ysin(1/x)|≤|xsin(1/y)|+|ysin(1/x)|
≤|x|+|y|

夹逼准则

？？？？？？？？

那么为什么说0≤原式≤∣x∣+∣y∣?
对无穷小量不要用这种静态的代数式子去理解。
在极限运算中有一条定理：有限个无穷小量之代数和仍是无
穷小量。极限为0的变量就是无穷小量。
你说的那个式子 0≤原式≤∣x∣+∣y∣ 在这里是不成立的。

在y→0的过程中，-1≦sin(1/y)≦1，即sin(1/y)在-1到1之间
作无休止的来回振荡。sin(1/x)也同样。因此上面的不等式
不存在！

---

lim(x,y→0,0) [x*sin(1/y)+y*sin(1/x)]=?视频