超一流数学高手、数学教师请进(极限0044)

超一流数学高手、数学教师请进(极限0037)~

这个比较复杂，可能打起来比较不太能看清，看不懂的话给我留言吧
lim{[a^(x+1)+b^(x+1)+c^(x+1)-a-b-c]/(a+b+c)+1}^(1/x)
第一步先构造熟悉的形式，提出个1
lim{[a^(x+1)+b^(x+1)+c^(x+1)-a-b-c]/(a+b+c)+1}^{(a+b+c)/[a^(x+1)+b^(x+1)+c^(x+1)-a-b-c]}*{[a^(x+1)+b^(x+1)+c^(x+1)-a-b-c]/[x*(a+b+c)]}
第二步看似麻烦，其实不过是在指数上做文章，在指数上把第一步构造出的分子[a^(x+1)+b^(x+1)+c^(x+1)-a-b-c]乘上再除去，为的是后面的计算
现在要用到一个很重要的公式
当x趋向于无穷大时，(1+1/x)^x=e（由x趋向于无穷小时ln(1+x)=x导出）
题意中x趋向于0，显然可得a^(x+1)+b^(x+1)+c^(x+1)-a-b-c也趋向于0
则(a+b+c)/[a^(x+1)+b^(x+1)+c^(x+1)-a-b-c]趋向于无穷大，套用刚才的公式
原式化成
lim e^{[a^(x+1)+b^(x+1)+c^(x+1)-a-b-c]/[x*(a+b+c)]}
继续化简
lim e^{[a(a^x-1)+b(b^x-1)+c(c^x-1)]/[x*(a+b+c)]}
现在还要用到很重要的公式
当x趋向于0时，(a^x-1)/x=ln a（同样由x趋向于无穷小时ln(1+x)=x导出）
原式化成
e^[(a*ln a+b*ln b+ c*ln c)/(a+b+c)]
化简成功
剩下就是简化结果了,先把[1/(a+b+c)]提到最外面
{e^[ln (a^a)(b^b)(c^c)]}^[1/(a+b+c)]
明显可得
[(a^a)(b^b)(c^c)]^[1/(a+b+c)]
当然你也可以把1/(a+b+c)化到每个指数中（太累了，我不打了，LZ看懂的话给点加分吧）
当然你可以代入数验证下，比如2，0，0或则1，1，1
送你句话对于1的无穷次幂不要武断的做，要多考虑，还有就是等价无穷小对于解题是很有效基础的方法

设y=1/x,则当x->∞时，y->0
∴原式=(y->0)lim[(siny+cosy)^(1/y)]
=e^{(y->0)lim[ln(siny+cosy)/y]}
=e^{(y->0)lim[(cosy-siny)/(siny+cosy)]} (用一次罗比达法)
=e^1=e
另一解法：
设y=1/x,则当x->∞时，y->0.
∵(siny+cosy)^(1/y)=(1+siny/cosy)^(1/y)*(cosy)^(1/y)
=[(1+siny/cosy)^(cosy/siny)]^[siny/(ycosy)]*
*[(1+cosy-1)^(1/cosy-1)]^[(cosy-1)/y]
又 (y->0)lim[(1+siny/cosy)^(cosy/siny)]=e
(y->0)lim[siny/(ycosy)]=(y->0)lim[(siny/y)*(1/cosy)]=1*1=1
(y->0)lim[(1+cosy-1)^(1/cosy-1)]=e
(y->0)lim[(cosy-1)/y]=(y->0)lim{[sin(y/2)/(y/2)]²*（-y/2)=1*0=0
∴原式=(e^1)*(e^0)=e.

解：
1=sin(pi/2)^(a+b)
上式分子=sin(pi/2)^(a+b)-sinx^(a+b)
除以(pi/2-x)，变成一个sinx^(a+b)的导数形式。
根据罗比达法则：
lim f(x)/g(x)=lim f'(x)/g'(x)在f(x)、g(x)趋于零时成立。上式的分子可以用导数计算。
所以：
分子=[sin(pi/2)^(a+b)]'=(a+b)sin(pi/2))^(a+b-1)*cos(pi/2)
分母同样：除以(pi/2-x)，写到根号里就是两个。所以：
分母=sqr(a*sin(pi/2)^(a-1)cos(pi/2))*sqr(b*sin(pi/2)^(b-1)cos(pi/2))
分子比分母，化简后得
原式=(a+b)/sqr(ab)

令t=pi/2-x
sinx=cost=1-t^2/2 +t^4/4!……
这里只要把cost=1-t^2/2 代入就可以了
结果是(a+b)/根号下 a*b

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